5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno. Sea $H$ su ortocentro y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ . Además, sean $S$ y $T$ puntos sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tales que $\angle BSH=\angle CTH=90^{\circ}$ . Dado que $AH=2HD$ , demuestre que $D,S,T$ son colineales.

9 Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , existe una sucesión de enteros positivos $a_1,a_2,\dots,a_n$ y $d_1,d_2,\dots,d_n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: $\binom{2a_i}{a_i}$ es divisible por $d_i$ para todo $i=1,2,\dots,n$ ; $d_{i+1}=d_i+1$ para todo $i=1,2,\dots, n-1$ ; $d_i\neq m^k$ para todo $i=1,2,\dots, n$ y todos los enteros positivos $m$ y $k$ tales que $k\geq 2$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $\omega$ su circunferencia circunscrita. Sea $I$ el incentro de $ABC$ . Sea la recta $BI$ que corta a $AC$ en $E$ y a $\omega$ en $M$ por segunda vez. La recta $CI$ corta a $AB$ en $F$ y a $\omega$ en $N$ por segunda vez. Sean las circunferencias circunscritas de $BFI$ y $CEI$ que se cortan de nuevo en el punto $K$ . Demuestre que las rectas $BN$ , $CM$ , $AK$ son concurrentes.

10 Halle el valor máximo de \[abcd(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\] tal que $a,b,c$ y $d$ son números reales positivos que satisfacen $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{d}=4$

Dado un tablero de ajedrez de $2020*2020$, ¿cuál es el número máximo de guerreros que puedes colocar en sus casillas de modo que no haya dos guerreros que se ataquen entre sí? Un guerrero es una pieza especial de ajedrez que puede moverse, en cualquier dirección, o bien $3$ pasos hacia adelante y $1$ paso hacia un lado, o bien $2$ pasos hacia adelante y $2$ pasos hacia un lado.

5 Sea $p$ un número primo dado. Para enteros positivos $n,k\geq2$ sean $S_1, S_2,\dots, S_n$ conjuntos de cuadrados unitarios construidos eligiendo exactamente un cuadrado unitario de cada una de las columnas de un tablero de ajedrez $p\times k$ . Si $|S_i \cap S_j|=1$ para todo $1\leq i < j \leq n$ y para cualquier par de cuadrados unitarios situados en columnas distintas existe $S_i$ tal que ambos cuadrados unitarios están en $S_i$ , halle todos los pares $(n,k)$ en términos de $p$ . Nota: Aquí denotamos el número de filas por $p$ y el número de columnas por $k$ .

6 Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias distintas que se cortan en dos puntos distintos, $X$ e $Y$ . Sean las rectas $l_1$ y $l_2$ rectas tangentes comunes de estas circunferencias tales que $l_1$ es tangente a $\omega_1$ en $A$ y a $\omega_2$ en $C$ , y $l_2$ es tangente a $\omega_1$ en $B$ y a $\omega_2$ en $D$ . Sea $Z$ la reflexión de $Y$ respecto a $l_1$ , y sean $BC$ y $\omega_1$ que se cortan en $K$ por segunda vez. Sean $AD$ y $\omega_2$ que se cortan en $L$ por segunda vez. Demuestre que la recta tangente a $\omega_1$ que pasa por $K$ y la recta tangente a $\omega_2$ que pasa por $L$ se cortan sobre la recta $XZ$ .

3 Inicialmente, todas las aristas de $K_{2024}$ están pintadas con $13$ colores distintos. Si existen $k$ colores tales que el subgrafo construido por las aristas coloreadas con estos $k$ colores es conexo sin importar cómo haya sido la coloración inicial, halle el valor mínimo de $k$ .

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ tales que se cumplan las condiciones $\quad a) \quad a-b \mid f(a)-f(b)$ para todo $a\neq b$ con $a,b \in \mathbb{Z}^{+}$ ; $\quad b) \quad f(\varphi(a))=\varphi(f(a))$ para todo $a \in \mathbb{Z}^{+}$ , donde $\varphi$ es la función totiente de Euler.

4 Sea $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ una sucesión estrictamente creciente tal que la desigualdad $$a_n(a_n-2a_{n-1})+a_{n-1}(a_{n-1}-2a_{n-2})\geq 0$$ se cumple para todo $n \geq 3$ . Demuestre que para todo $n\geq2$ también se cumple la desigualdad $$a_n \geq a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_1$$ .