Determine todos los números reales $(a,b,c)$ tales que $ab = 9c$ y todas las raíces del polinomio \[x^3+ax^2+bx+c\] son números reales positivos. Propuesto por Santiago Rodriguez

2 En el trapecio $ABCD$ con una circunferencia inscrita, se tiene $AD\parallel BC$ , y sabemos que el ángulo $B$ y el ángulo $C$ son ambos agudos. Dado que $AB=7$ , $CD=8$ . Halle el área del trapecio $ABCD$ . YII.I.

Determine todas las ternas de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que la fracción \[\frac{ca^2+b}{cab+a}\] es un entero. Propuesto por Santiago Rodriguez

5 Halle el número de pares de enteros $(m,n)$ ( $1\leq m,n\leq 2022$ ) que satisfacen la siguiente condición: Para cualquier entero positivo $N$ , existe un entero no negativo $k$ y un entero $d$ mayor que $N$ , tales que tanto $\frac{m-k^2}{d}$ como $\frac{n+2k}{d}$ son enteros. YII.I.

1 Entre los números de cuatro cifras mayores que $2022$ que son divisibles por $3$ , halle el menor entero cuyas cuatro cifras son de solo dos tipos de números. YII.I.

3 Denotemos los vértices de un hexágono regular como $A,B,C,D,E,F$ . Si estamos parados en uno de estos puntos, podemos movernos al vértice adyacente u opuesto a este punto. Si partimos de $A$ , pasamos por los demás vértices una vez cada uno y regresamos a $A$ sin pasar por $A$ en el camino, ¿cuántos caminos hay en total? YII.I.

4 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , hay un punto $P$ en su interior. Dado que $AP\perp AD$ , $BP\perp CD$ , $AB=7$ , $AP=3$ , $BP=6$ , $AD=5$ , $CD=10$ . Halle el área de $\triangle ABC$ . YII.I.

6 Use $36$ piezas de pequeñas baldosas triangulares equiláteras de lado $1$ para formar una disposición como se muestra en la figura siguiente, en la que los $30$ puntos marcados se llaman puntos buenos. Coloree cada triángulo pequeño de rojo o azul. ¿Cuántos métodos de coloreado hay en total que satisfacen la siguiente condición? \bullet Para cualquier punto bueno, el número de triángulos rojos que lo tienen como vértice es igual al número de triángulos azules. Observación: Los métodos de coloreado que pueden superponerse mediante rotaciones y reflexiones se cuentan como métodos de coloreado distintos. YII.I.

7 Hay un triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC=90^{\circ}$ y $AB=AC=7$ . Tome tres puntos $D,E,F$ sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $\angle EDF=90^{\circ}$ , $DE=5$ , $DF=3$ . Halle la longitud de $BD$ . YII.I.

8 ¿Cuántas sucesiones de enteros positivos $(a_1,a_2,\ldots,a_{2022})$ satisfacen que $a_1<a_2<\ldots<a_{2022}$ , y $$a_1^2-6^2\geq a_2^2-7^2\geq\ldots\geq a_{2022}^2-2027^2$$ YII.I.