17 Muestre que existe un conjunto $S$ de $15$ circunferencias distintas sobre la superficie de una esfera, todas con el mismo radio y tales que $5$ tocan exactamente a otras $5$ , $5$ tocan exactamente a otras $4$ , y $5$ tocan exactamente a otras $3$ . [Problema general: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=384764 ] Amir

10 Se da un octágono regular $P$ cuya circunferencia inscrita $k$ tiene diámetro $1$ . Alrededor de $k$ se circunscribe un $16$ - gono regular, que también está inscrito en $P$ , cortando de $P$ ocho triángulos isósceles. Al octágono $P$ se le añaden tres de estos triángulos de modo que exactamente dos de ellos sean adyacentes y no haya dos de ellos opuestos entre sí. Todo $11$ - gono así obtenido se denomina $P'$ . Demuestre el siguiente enunciado: Dado un conjunto finito $M$ de puntos que yacen en $P$ tal que cada dos puntos de este conjunto tienen una distancia que no excede $1$ , uno de los $11$ - gonos $P'$ contiene a todo $M$ .

16 Una baraja de $2n$ cartas contiene $n$ pares diferentes de cartas. Cada par consta de dos cartas idénticas, cada una de las cuales se denomina la gemela de la otra. Se juega un juego entre dos jugadores $A$ y $B$ . Una tercera persona, llamada el repartidor, baraja la baraja y reparte las cartas una a una boca arriba sobre la mesa. Uno de los jugadores, llamado el receptor , toma la carta repartida, siempre que no tenga ya su gemela. Si ya tiene la gemela, su oponente toma la carta repartida y se convierte en el receptor. $A$ es inicialmente el receptor y toma la primera carta repartida. El jugador que primero obtiene un conjunto completo de $n$ cartas diferentes gana el juego. ¿Qué fracción de todos los arreglos posibles de la baraja conducen a que gane $A$ ? Demuestre la corrección de su respuesta.

9 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x_1,x_2 \ldots, x_n \ (n \geq 2)$ y parámetros $c_1,c_2, \ldots , c_n:$ \[2x_1 -x_2 = c_1;\] \[-x_1 +2x_2 -x_3 = c_2;\] \[-x_2 +2x_3 -x_4 = c_3;\] \[\cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad\] \[-x_{n-2} +2x_{n-1} -x_n = c_{n-1};\] \[-x_{n-1} +2x_n = c_n.\] Amir

8 Sean $x, y, z$ números reales cada uno de los cuales tiene valor absoluto diferente de $\frac{1}{\sqrt 3}$ tales que $x + y + z = xyz$ . Demuestre que \[\frac{3x - x^3}{1-3x^2} + \frac{3y - y^3}{1-3y^2} + \frac{3z -z^3}{1-3z^2} = \frac{3x - x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y - y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z - z^3}{1-3z^2}\] Amir

7 Sea $p$ un número primo y $n$ un entero positivo. Demuestre que el producto \[{N=\frac{1}{p^{n^2}}} \prod_{i=1;2 \nmid i}^{2n-1} \biggl[ \left( (p-1)! \right) \binom{p^2 i}{pi}\biggr]\] es un entero positivo que no es divisible por $p.$ Amir

5 Se da un cono recto en el interior de un paralelepípedo rectangular $B$ , con el vértice en uno de los vértices, digamos $T$ , del paralelepípedo, y la base tocando las tres caras opuestas a $T .$ Su eje está sobre la diagonal larga que pasa por $T.$ Si $V_1$ y $V_2$ son los volúmenes del cono y del paralelepípedo respectivamente, demuestre que \[V_1 \leq \frac{\sqrt 3 \pi V_2}{27}.\] Amir

24 En un encuentro deportivo se otorgaron un total de $m$ medallas a lo largo de $n$ días. El primer día se otorgaron una medalla y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes. El segundo día se otorgaron dos medallas y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes, y así sucesivamente. El último día se otorgaron las $n$ medallas restantes. ¿Cuántos días duró el encuentro y cuál fue el número total de medallas?

4 Sean $K_a,K_b,K_c$ con centros $O_a,O_b,O_c$ las circunferencias exinscritas de un triángulo $ABC$ , que tocan los interiores de los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $T_a,T_b,T_c$ respectivamente. Demuestre que las rectas $O_aT_a,O_bT_b,O_cT_c$ son concurrentes en un punto $P$ para el cual se cumple $PO_a=PO_b=PO_c=2R$ , donde $R$ denota el circunradio de $ABC$ . Demuestre también que el circuncentro $O$ de $ABC$ es el punto medio del segmento $PI$ , donde $I$ es el incentro de $ABC$ .

6 Sea $P$ un $99$-ágono regular. Asigna enteros entre $1$ y $99$ a los vértices de $P$ de modo que cada entero aparezca exactamente una vez. (Si dos asignaciones coinciden bajo rotación, trátalas como iguales.) Una operación es un intercambio de los enteros asignados a un par de vértices adyacentes de $P$. Encuentra el entero más pequeño $n$ tal que se pueda lograr cualquier otra asignación a partir de una dada con no más de $n$ operaciones. Propuesto por Zhenhua Qu