6 Se da un número natural $n$ . Sasha afirma que para cualesquiera $n$ rayos en el espacio, sin que dos de ellos tengan un punto común, podrá marcar sobre estos rayos $k$ puntos que estén sobre una misma esfera. ¿Cuál es el mayor $k$ para el cual su afirmación es verdadera?

4 Sea $n \geq 2$ un entero positivo y defina $k$ como el número de primos $\leq n$ . Sea $A$ un subconjunto de $S = \{2,...,n\}$ tal que $|A| \leq k$ y ningún par de elementos de $A$ se divide entre sí. Demuestre que se puede encontrar un conjunto $B$ tal que $|B| = k$ , $A \subseteq B \subseteq S$ y ningún par de elementos de $B$ se divide entre sí.

3 Sean $m,n\in \mathbb{N}$ y $p(x),q(x),h(x)$ polinomios con coeficientes reales tales que $p(x)$ es decreciente. y para todo $x\in \mathbb{R}$ $p(q(nx+m)+h(x))=n(q(p(x))+h(x))+m$ . Demuestre que no existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que para todo $x\in \mathbb{R}$ $f(q(p(x))+h(x))=f(x)^{2}+1$

4 Sean $n_1, n_2$ enteros positivos. Considera en un plano $E$ dos conjuntos disjuntos de puntos $M_1$ y $M_2$ que consisten de $2n_1$ y $2n_2$ puntos, respectivamente, y tales que no hay tres puntos de la unión $M_1 \cup M_2$ colineales. Demuestra que existe una recta $g$ con la siguiente propiedad: Cada uno de los dos semiplanos determinados por $g$ en $E$ (sin incluir a $g$ en ninguno) contiene exactamente la mitad de los puntos de $M_1$ y exactamente la mitad de los puntos de $M_2.$

1 Sean $x$ e $y$ números reales positivos con $x + y = 1$ . Demuestre que $$\frac{x + 1}{y} +\frac{y + 1}{x} \ge 6.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)

El dominio de la función $f(x) = \text{arcsin}(\log_{m}(nx))$ es un intervalo cerrado de longitud $\frac{1}{2013}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $m > 1$. Encuentra el residuo cuando la menor suma posible $m+n$ se divide entre $1000$.

3 Sea $ \triangle ABC $ un triángulo acutángulo con circuncentro $ O $ y baricentro $ G .$ Sea $ D $ el punto medio de $ BC $ y sea $ E\in \odot (BC) $ un punto interior de $ \triangle ABC $ tal que $ AE \perp BC . $ Sean $ F=EG \cap OD $ y $ K, L $ los puntos sobre $ BC $ tales que $ FK \parallel OB, FL \parallel OC . $ Sea $ M \in AB $ un punto tal que $ MK \perp BC $ y sea $ N \in AC $ un punto tal que $ NL \perp BC . $ Sea $ \omega $ una circunferencia tangente a $ OB, OC $ en $ B, C, $ respectivamente $ . $ Demuestre que $ \odot (AMN) $ es tangente a $ \omega $

1 Dos circunferencias con centros $ S_{1}$ y $ S_{2}$ son tangentes exteriormente en el punto $ K$ . Estas circunferencias son también tangentes interiormente a la circunferencia $ S$ en los puntos $ A_{1}$ y $ A_{2}$ , respectivamente. Denote por $ P$ uno de los puntos de intersección de $ S$ y la tangente común a $ S_{1}$ y $ S_{2}$ en $ K$ . La recta $ PA_{1}$ interseca a $ S_{1}$ en $ B_{1}$ , mientras que $ PA_{2}$ interseca a $ S_{2}$ en $ B_{2}$ . Demuestre que $ B_{1}B_{2}$ es la tangente común de las circunferencias $ S_{1}$ y $ S_{2}$ .

9 Un triángulo equilátero de papel $ABC$ tiene lado de longitud $12$. El triángulo de papel se dobla de modo que el vértice $A$ toca un punto sobre el lado $\overline{BC}$ a una distancia $9$ del punto $B$. La longitud del segmento de línea a lo largo del cual se dobla el triángulo se puede escribir como $\frac{m\sqrt{p}}{n}$, donde $m$, $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos relativos, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p$. [asy] import cse5; size(12cm); pen tpen = defaultpen + 1.337; real a = 39/5.0; real b = 39/7.0; pair B = MP("B", (0,0), dir(200)); pair A = MP("A", (9,0), dir(-80)); pair C = MP("C", (12,0), dir(-20)); pair K = (6,10.392); pair M = (a*B+(12-a)*K) / 12; pair N = (b*C+(12-b)*K) / 12; draw(B--M--N--C--cycle, tpen); draw(M--A--N--cycle); fill(M--A--N--cycle, mediumgrey); pair shift = (-20.13, 0); pair B1 = MP("B", B+shift, dir(200)); pair A1 = MP("A", K+shift, dir(90)); pair C1 = MP("C", C+shift, dir(-20)); draw(A1--B1--C1--cycle, tpen);[/asy]

Nivel 3 Cada respuesta correcta vale 3 puntos.