10.2 En el interior del triángulo \(ABC\) se marca el punto \(P\) . El punto \(Q\) está sobre el segmento \(AB\) , y el punto \(R\) está sobre el segmento \(AC\) , de modo que los circuncírculos de los triángulos \(BPQ\) y \(CPR\) son tangentes a la recta \(AP\) . Se trazan rectas por los puntos \(B\) y \(C\) que pasan por el centro del circuncírculo del triángulo \(BPC\) , y rectas por los puntos \(Q\) y \(R\) que pasan por el centro del circuncírculo del triángulo \(PQR\) . Demuestre que existe un círculo tangente a las cuatro rectas trazadas.

3 Halle todos los pares $(x,y)$ de números reales tales que $ |x|+ |y|=1340$ y $x^{3}+y^{3}+2010xy= 670^{3}$ .

Igual que el problema 7.2

1 Encuentra todas las cuádruplas $a,b,c,d$ para las cuales $2^a+3^b=5^c \cdot d$ y $2^b+3^a=5^d\cdot c$ .

Sean $a, b$ y $c$ números reales tales que $a + b = c$ y $a^2 + bc = 2$ . Halle el valor numérico de $a^2 + b^2 + c^2$ .

8 Sea $a_0, a_1, a_2, \ldots$ la única sucesión de enteros no negativos menores que $397$ con $a_0=1$ y $$a_{n+1}(a_n+1)^2 \equiv a_n \pmod{397}$$ para todo entero no negativo $n.$ Dado que $a_{2026}=9,$ calcule el residuo cuando $a_0+a_1+\cdots+a_{2026}$ se divide entre $397.$

4 Suponga que una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para todo entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para todo $n\geq2$ .

4 En un torneo de tenis participaron $2n$ niños y $n$ niñas. Cada jugador jugó contra todos los demás. Los niños ganaron $\frac 75$ veces más partidos que las niñas. Se sabe que no hubo empates. Halle $n$ . Serbia Iris

2 Demuestre que se puede particionar el conjunto de los números naturales en $100$ subconjuntos no vacíos tales que entre cualesquiera tres números naturales $a$ , $b$ , $c$ que satisfacen $a+99b=c$ , haya dos que pertenezcan al mismo subconjunto.

2 En un billar con forma de rectángulo $ABCD$ con $AB=2013$ y $AD=1000$ , se lanza una bola a lo largo de la recta de la bisectriz de $\angle BAD$ . Suponiendo que la bola se refleja en los lados con el mismo ángulo en el punto de impacto que el ángulo de tiro, examine si alguna vez llegará al vértice B.