6 Sean $P_i (x_i, y_i)$ (con $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ) cinco puntos con coordenadas enteras, sin tres colineales. Demuestre que entre todos los triángulos con vértices en estos puntos, al menos tres tienen área entera. Amir

7 Dado un tetraedro $ABCD$ . Sean $x = AB \cdot CD, y = AC \cdot BD$ y $z = AD\cdot BC$ . Demuestre que existe un triángulo con lados de longitudes $x, y$ y $z$ . Amir

8 Sea $a$ un número real no nulo. Para cada entero $n$ , definimos $S_n = a^n + a^{-n}$ . Demuestre que si para algún entero $k$ , las sumas $S_k$ y $S_{k+1}$ son enteros, entonces las sumas $S_n$ son enteros para todos los enteros $n$ . Amir

1 Halle el número positivo máximo $r$ con la siguiente propiedad: Si todas las alturas de un tetraedro son $\geq 1$ , entonces una esfera de radio $r$ cabe dentro del tetraedro. Amir

1 (a) Demuestra que $\frac{1}{n+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para $n \geq 0.$ (b) Dado un entero positivo $k$, determina el entero más pequeño $C_k$ con la propiedad de que $\frac{C_k}{n+k+1} \cdot \binom{2n}{n}$ sea un entero para todo $n \geq k.$ Amir

Dados $n$ puntos $X_1,X_2,\ldots, X_n$ en el intervalo $0 \leq X_i \leq 1, i = 1, 2,\ldots, n$, demuestra que existe un punto $y, 0 \leq y \leq 1$, tal que \[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} | y - X_i | = \frac 12.\]

Entre todos los triángulos con un perímetro dado, encuentra el que tiene el radio máximo de su circunferencia inscrita. Amir

6 Sobre las tres rectas distintas \(a, b\) y \(c\) se dan tres puntos \(A, B\) y \(C\), respectivamente. Construye tres puntos colineales \(X, Y, Z\) sobre las rectas \(a, b, c\), respectivamente, tales que \(\frac{BY}{AX} = 2\) y \(\frac{CZ}{AX} = 3\). Amir

7 Encuentra todas las soluciones $(x, y) \in \mathbb Z^2$ de la ecuación \[x^3 - y^3 = 2xy + 8.\]

8 Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Junto a la caja hay una pila de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se pone en la caja una bola negra de la pila. Si tienen colores distintos, se devuelve la bola blanca a la caja. Este procedimiento se repite hasta que se retiran las últimas dos bolas de la caja y se pone una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? Amir