Olimpiada de toda Rusia 2011 Problema 4
4 Sea $N$ el punto medio del arco $ABC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ , sea $M$ el punto medio de $AC$ y sean $I_1, I_2$ los incentros de los triángulos $ABM$ y $CBM$ . Demuestre que los puntos $I_1, I_2, B, N$ están sobre una circunferencia. M. Kungojin
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 2
2 Cada uno de los $1000$ elfos tiene un sombrero, rojo por dentro y azul por fuera, o viceversa. Un elfo con un sombrero rojo por fuera solo puede mentir, y un elfo con un sombrero azul por fuera solo puede decir la verdad. Un día, cada elfo les dice a todos los demás: «Tu sombrero es rojo por fuera». Durante ese día, algunos elfos dan vuelta sus sombreros en cualquier momento del día. (Un elfo puede hacerlo más de una vez por día.) Halle el menor número posible de veces que algún sombrero es dado vuelta. Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 3
3 Llamemos $unlucky$ a un número natural si no puede expresarse como $\frac{x^2-1}{y^2-1} $ con números naturales $x,y >1$ . ¿Es finita o infinita la cantidad de números $unlucky$? Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 4
4 En un triángulo acutángulo $ABC$ , la mediana $AM$ es más larga que el lado $AB$ . Demuestre que se puede cortar el triángulo $ABC$ en $3$ partes con las que se puede construir un rombo. Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 3
3 Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo no isósceles $ABC$ . Sean $P$ y $Q$ puntos sobre la altura $AD$ tales que $OP$ y $OQ$ son perpendiculares a $AB$ y $AC$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y sea $S$ el circuncentro del triángulo $OPQ$ . Demuestre que $\angle BAS =\angle CAM$ . Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 4
4 En cada cuadrado unitario de un cuadrado de $100*100$ escriba cualquier número natural. Un rectángulo con lados paralelos a los lados del cuadrado se llama $good$ si la suma de los números dentro del rectángulo es divisible por $17$ . Se pueden pintar todos los cuadrados unitarios de un rectángulo $good$ . Un cuadrado unitario no puede pintarse dos o más veces. Halle el máximo $d$ para el cual se puede garantizar pintar al menos $d$ casillas. Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2011 Problema 1
1 Dos números naturales $d$ y $d'$ , donde $d'>d$ , son ambos divisores de $n$ . Demuestre que $d'>d+\frac{d^2}{n}$ .
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 1
1 Sean $a \neq b a,b \in \mathbb{R}$ tales que $(x^2+20ax+10b)(x^2+20bx+10a)=0$ no tiene raíces para $x$ . Demuestre que $20(b-a)$ no es un entero. Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 4
4 Hay 100 manzanas sobre la mesa con un peso total de 10 kg. Cada manzana pesa no menos de 25 gramos. Las manzanas deben cortarse para 100 niños de modo que cada uno de los niños reciba 100 gramos. Demuestre que se puede hacer de manera que cada trozo pese no menos de 25 gramos. Ovchinnikov
Olimpiada de toda Rusia 2010 Problema 1
1 ¿Existen números reales no nulos $a_1, a_2, ....., a_{10}$ para los cuales \[(a_1+\frac{1}{a_1})(a_2+\frac{1}{a_2}) \cdots(a_{10}+\frac{1}{a_{10}})= (a_1-\frac{1}{a_1})(a_2-\frac{1}{a_2})\cdots(a_{10}-\frac{1}{a_{10}}) \ ? \] Ovchinnikov