53 Considera sucesiones infinitas $\{x_n\}$ de reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Demuestra que para toda sucesión de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentra una sucesión de este tipo tal que para todo $n$ : \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

54 Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son semejantes y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$, y además tenemos $\angle CAB = \angle C_1AB_1$. Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$. Demuestra que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares. Amir

55 Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$. Sea $L$ un camino dentro de $S$ que no se intersecta a sí mismo y que está compuesto por segmentos de recta $A_0A_1, A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_n$ con $A_0 = A_n$. Supón que para todo punto $P$ en la frontera de $S$ existe un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac{1}{2}$. Demuestra que hay dos puntos $X$ y $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ y $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ y $Y$ no es menor que $198$.

56 Sea $f(x) = ax^2 + bx + c$ y $g(x) = cx^2 + bx + a$. Si $|f(0)| \leq 1$, $|f(1)| \leq 1$, $|f(-1)| \leq 1$, demuestra que para $|x| \leq 1$, (a) $|f(x)| \leq 5/4$, (b) $|g(x)| \leq 2$.

57 Sea $K$ un polígono convexo en el plano y supón que $K$ está colocado en el sistema de coordenadas de tal manera que \[\text{área } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{área } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Demuestra que si $K$ no contiene ningún punto de la red distinto de cero, entonces el área de $K$ es menor que $4.$ Amir

1 Demuestra que en el plano euclidiano todo polígono regular con un número par de lados puede disecarse en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen todos la misma longitud). Amir

4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa esté vacía o haya 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra esta última alternativa? Amir

5 Describe qué enteros positivos no pertenecen al conjunto \[E = \left\{ \lfloor n+ \sqrt n +\frac 12 \rfloor | n \in \mathbb N\right\}.\] Amir

Demuestra que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,}i + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i }+ a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . encuentra la matriz M. Amir