2 Considere una sucesión $\{a_i\}^\infty_{i\ge1}$ de enteros positivos. Para todo entero positivo $n$, demuestre que existen infinitos enteros positivos $k$ tales que no existe un par $(m,t)$ de enteros positivos con $m>n$ y $$kn+a_n=tm(m+1)+a_m$$.

3 Sea $k$ un entero positivo. Halle todas las funciones $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: • Para infinitos números primos $p$ existe un entero positivo $c$ tal que $f(c)=p^k$. • Para todos los enteros positivos $m$ y $n$, $f(m)+f(n)$ divide a $f(m+n)$.

1 Sea $ABC$ un triángulo. Suponga que $X,Y$ son puntos en el plano tales que $BX,CY$ son tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$, $AB=BX,AC=CY$ y $X,Y,A$ están del mismo lado de $BC$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, demuestre que $\angle BAC+\angle XIY=180$.

2 Sea $ABCD$ un trapecio ( $AB<CD,AB\parallel CD$ ) y $P\equiv AD\cap BC$. Suponga que $Q$ es un punto dentro de $ABCD$ tal que $\angle QAB=\angle QDC=90-\angle BQC$. Demuestre que $\angle PQA=2\angle QCD$.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Suponga que $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC$. Sean $F\equiv BH\cap AC$ y $E\equiv CH\cap AB$. Suponga que $X$ es un punto sobre $EF$ tal que $\angle XMH=\angle HAM$ y $A,X$ están en lados distintos de $MH$. Demuestre que $AH$ biseca a $MX$.

1 Hay una cinta con $n^2$ casillas etiquetadas por $1,2,\ldots,n^2$. Suponga que $x,y$ son dos enteros positivos distintos menores o iguales que $n$. Queremos colorear las casillas de la cinta de modo que cualesquiera dos casillas cuya diferencia de etiquetas sea $x$ o $y$ tengan colores distintos. Halle el número mínimo de colores necesarios para lograrlo.

2 Sea $P(z)=a_d z^d+\dots+ a_1z+a_0$ un polinomio con coeficientes complejos. El $reverse$ de $P$ se define por $$P^*(z)=\overline{a_0}z^d+\overline{a_1}z^{d-1}+\dots+\overline{a_d}$$ (a) Demuestre que $$P^*(z)=z^d \overline{ P\left( \frac{1}{\overline{z}} \right) } $$ (b) Sea $m$ un entero positivo y sea $q(z)$ un polinomio mónico no constante con coeficientes complejos. Suponga que todas las raíces de $q(z)$ están dentro o sobre la circunferencia unitaria. Demuestre que todas las raíces del polinomio $$Q(z)=z^m q(z)+ q^*(z)$$ están sobre la circunferencia unitaria.

3 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. Demuestre que $$\sum_{cyc} \frac {a^3b}{(3a+2b)^3} \ge \sum_{cyc} \frac {a^2bc}{(2a+2b+c)^3} $$.

1 Sea $\mathbb{R}^{\ge 0}$ el conjunto de todos los números reales no negativos. Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ tales que $$ x+2 \max\{y,f(x),f(z)\} \ge f(f(x))+2 \max\{z,f(y)\}$$ para todos los números reales no negativos $x,y$ y $z$.

1 Hay $100$ puntos sobre la circunferencia de un círculo, etiquetados arbitrariamente por $1,2,\ldots,100$. Para cada tres puntos, llamamos a su triángulo horario si el orden creciente de ellos está en sentido horario. Demuestre que es imposible tener exactamente $2017$ triángulos horarios.