41 Sea $S$ un conjunto de enteros positivos $n_1, n_2, \cdots, n_6$ y sea $n(f)$ el número $n_1n_{f(1)} +n_2n_{f(2)} +\cdots+n_6n_{f(6)}$ , donde $f$ es una permutación de $\{1, 2, . . . , 6\}$ . Sea \[\Omega=\{n(f) | f \text{ is a permutation of } \{1, 2, . . . , 6\} \} \] Dé un ejemplo de enteros positivos $n_1, \cdots, n_6$ tales que $\Omega$ contenga tantos elementos como sea posible y determine el número de elementos de $\Omega$ . Amir

47 Evalúe \[\left \lfloor \ \prod_{n=1}^{1992} \frac{3n+2}{3n+1} \ \right \rfloor\] Amir

55 Para cualquier entero positivo $ x$ defina $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{if \ \(x\) is even}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{if \ \(x\) is odd}. \end{cases} \] Construya la sucesión $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Demuestre que el número 1992 aparece en esta sucesión, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.

56 Un grafo dirigido (cualesquiera dos vértices distintos unidos por a lo sumo una línea dirigida) tiene la siguiente propiedad: Si $x, u,$ y $v$ son tres vértices distintos tales que $x \to u$ y $x \to v$ , entonces $u \to w$ y $v \to w$ para algún vértice $w$ . Suponga que $x \to u \to y \to\cdots \to z$ es un camino de longitud $n$ que no puede extenderse hacia la derecha (ninguna flecha sale de $z$ ) . Demuestre que todo camino que comienza en $x$ llega después de $n$ pasos a $z.$ Amir

54 Suponga que $n > m \geq 1$ son enteros tales que la cadena de dígitos $143$ aparece en algún lugar de la representación decimal de la fracción $\frac{m}{n}$ . Demuestre que $n > 125.$ Amir

49 Dados números reales $x_i \ (i = 1, 2, \cdots, 4k + 2)$ tales que \[\sum_{i=1}^{4k +2} (-1)^{i+1} x_ix_{i+1} = 4m \qquad ( \ x_1=x_{4k+3} \ )\] demuestre que es posible elegir números $x_{k_{1}}, \cdots, x_{k_{6}}$ tales que \[\sum_{i=1}^{6} (-1)^{i} k_i k_{i+1} > m \qquad ( \ x_{k_{1}} = x_{k_{7}} \ )\] Amir

53 Halle todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] sea un divisor de $abc-1.$

51 Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga que \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Demuestre que existe un polinomio $ h$ tal que $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$

60 ¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Todo elemento de $ M$ y la suma de cualquier cantidad de elementos tienen la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

65 Si $A, B, C$ y $D$ son cuatro puntos distintos en el espacio, demuestre que existe un plano $P$ sobre el cual las proyecciones ortogonales de $A, B, C$ y $D$ forman un paralelogramo (posiblemente degenerado). Amir