Los puntos $A', B', C', D'$ se eligen respectivamente sobre los lados $AB, BC, CD, DA$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Se sabe que $AA' = BB' = CC' = DD'$ y \[\angle AA'D' =\angle BB'A' =\angle CC'B' =\angle DD'C'.\] Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado.

Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to\mathbb{ Z}$ tales que \[ n^2+4f(n)=f(f(n))^2 \] para todo $n\in \mathbb{Z}$ . Propuesto por Sahl Khan, Reino Unido

Dados dos enteros $h \geq 1$ y $p \geq 2$ , determine el número mínimo de pares de oponentes que puede tener un parlamento de $hp$ miembros, si en toda partición del parlamento en $h$ cámaras de $p$ miembros cada una, alguna cámara contiene al menos un par de oponentes.

Sea $p\geqslant 5$ un número primo. Demuestre que el conjunto $\{1,2,\ldots,p - 1\}$ puede dividirse en dos subconjuntos no vacíos de modo que la suma de todos los números de un subconjunto y el producto de todos los números del otro subconjunto den el mismo resto módulo $p{}$ .

Se da el triángulo $ABC$ . Sea $A'$ el punto medio del lado $BC$ , $B_c{}$ la proyección de $B{}$ sobre la bisectriz del ángulo $ACB{}$ y $C_b$ la proyección del punto $C{}$ sobre la bisectriz del ángulo $ABC$ . Sea $A_0$ el centro del círculo que pasa por $A', B_c, C_b$ . Los puntos $B_0$ y $C_0$ se definen de manera análoga. Demuestre que el incentro del triángulo $ABC$ coincide con el ortocentro del triángulo $A_0B_0C_0$ .

Se da un tablero de ajedrez $2015\times2015$ , cuyas casillas están pintadas de blanco y negro alternadamente de modo que las casillas de las esquinas son negras. Hay $n{}$ trominós en forma de L colocados sobre el tablero, sin que dos de ellos se superpongan y que cubren todas las casillas negras. Halle el menor valor posible de $n{}$ .

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos que satisfacen $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ . Demuestre que \[a^3+b^3+c^3+d^3+abcd\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\leqslant 1.\]

Demuestre que hay infinitos enteros que no pueden escribirse como $$\frac{p^a-p^b}{p^c-p^d}$$ , donde a,b,c,d son enteros arbitrarios y p es un primo arbitrario tal que la fracción también es un entero.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demuestre que \[\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant\frac{z(x+y)}{y(y+z)}+\frac{x(y+z)}{z(z+x)}+\frac{y(z+x)}{x(x+y)}.\]

El barón Munchausen presentó un nuevo teorema: si un polinomio $x^{n} - ax^{n-1} + bx^{n-2}+ \dots$ tiene $n$ raíces enteras positivas, entonces existen $a$ rectas en el plano tales que tienen exactamente $b$ puntos de intersección. ¿Es verdadero el teorema del barón? L.Lawliet03