El triángulo $ABC$ satisface $\overline{CA} > \overline{AB}$ . Sea la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ denotada por $\omega$ , que es tangente a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea el círculo con centro en $M$ que pasa por $D$ el que corta a $DE, DF$ en $P(\neq D), Q(\neq D)$ , respectivamente. Sea la recta $AP$ la que corta a $BC$ en $N$ , y la recta $BP$ la que corta a $CA$ en $L$ . Demuestre que las tres rectas $EQ, FP, NL$ son concurrentes.

Los enteros positivos $a, b$ satisfacen las dos condiciones siguientes. $\cdot$ Para un entero positivo $m$ , si $m^2 \mid ab$ , entonces $m = 1$ . $\cdot$ Existen enteros $x, y, z, w$ que satisfacen la ecuación $ax^2 + by^2 = z^2 + w^2$ y $z^2 + w^2 > 0$ . Demuestre que existen enteros $x, y, z, w$ que satisfacen la ecuación $ax^2 + by^2 + n = z^2 + w^2$ , para cada entero positivo $n$ .

Un conjunto $S=\left\{1,2,...,1000\right\}$ . Para todo subconjunto $T$ de $S$ , defínase $\widetilde{T}=\left\{1001-t|t \in T\right\}$ . Halle el número máximo de elementos de un conjunto $\mathcal{P}$ que satisface estas tres condiciones: $\cdot$ todos los elementos de $\mathcal{P}$ son subconjuntos de $S$ . $\cdot$ para cualesquiera dos elementos $A,B$ de $\mathcal{P}$ , $A \cap B \neq \O$ $\cdot$ para cualquier elemento $A$ de $\mathcal{P}$ , $\widetilde{A} \in \mathcal{P}$

2 Encuentra una función continua y periódica $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $\forall x, y\in\mathbb R:$ $$f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y)$$

Demuestre que existe un entero positivo $K$ que satisface la siguiente condición. Condición: Para cualquier primo $p > K$ , el número de enteros positivos $a \le p$ tales que $p^2 \mid a^{p-1} - 1$ es menor que $\frac{p}{2^{2024}}$

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente condición. Aquí, $f^{100}(x)$ es la función obtenida al componer $f(x)$ $100$ veces, es decir, $(\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{100 \ \text{times}})(x).$ (Condición) Para todos $x, y \in \mathbb{R}$ , $$f(x + f^{100}(y)) = x + y \ \ \ \text{or} \ \ \ f(f^{100}(x) + y) = x + y$$

Se da un entero positivo $n (\ge 4)$ . Sean $a_1, a_2, \cdots ,a_n$ $n$ enteros positivos distintos dos a dos con $a_i \le n$ para todo $1 \le i \le n$ . Determine el valor máximo de $$\sum_{i=1}^{n}{|a_i - a_{i+1} + a_{i+2} - a_{i+3}|}$$ donde todos los índices son módulo $n$

54 Suponga que $n > m \geq 1$ son enteros tales que la cadena de dígitos $143$ aparece en algún lugar de la representación decimal de la fracción $\frac{m}{n}$ . Demuestre que $n > 125.$ Amir

56 Un grafo dirigido (cualesquiera dos vértices distintos unidos por a lo sumo una línea dirigida) tiene la siguiente propiedad: Si $x, u,$ y $v$ son tres vértices distintos tales que $x \to u$ y $x \to v$ , entonces $u \to w$ y $v \to w$ para algún vértice $w$ . Suponga que $x \to u \to y \to\cdots \to z$ es un camino de longitud $n$ que no puede extenderse hacia la derecha (ninguna flecha sale de $z$ ) . Demuestre que todo camino que comienza en $x$ llega después de $n$ pasos a $z.$ Amir

55 Para cualquier entero positivo $ x$ defina $ g(x)$ como el mayor divisor impar de $ x,$ y \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{2} + \frac {x}{g(x)} & \text{if \ \(x\) is even}, \\ 2^{\frac {x + 1}{2}} & \text{if \ \(x\) is odd}. \end{cases} \] Construya la sucesión $ x_1 = 1, x_{n + 1} = f(x_n).$ Demuestre que el número 1992 aparece en esta sucesión, determine el menor $ n$ tal que $ x_n = 1992,$ y determine si $ n$ es único.