30 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $P$ un punto en su interior tal que $\angle PAC = \angle PBC$. Las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y a $CA$ cortan a estas rectas en $L$ y $M$, respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$. Demuestra que $DL = DM$.

. La suma de $n$ números es igual a $0$ , y la suma de sus valores absolutos es igual a $a$ . Demuestre que la diferencia entre el mayor y el menor de estos números es al menos $\frac{2a}{n}$ . P2. Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que si los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $AHB$ , $BHC$ y $CHA$ son iguales, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. P3. En un torneo de tenis participaron $n$ profesionales y $2n$ aficionados. Cada par de jugadores jugó exactamente un partido entre sí. Se sabe que la razón entre el número de victorias logradas por los profesionales y el número de victorias logradas por los aficionados es $7:5$ (en el tenis no hay empates). Halle $n$ . P4. En el triángulo $ABC$ , se traza la bisectriz $AK$ . Se sabe que el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo $ABK$ coincide con el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Halle los ángulos del triángulo $ABC$ . P5. ¿Es posible elegir diez números distintos $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ del conjunto $\{1,\, 2,\, \ldots,\, 10,\, 11\}$ tales que los diez números $|a_{1}-a_{2}|, |a_{2}-a_{3}|, \ldots, |a_{9}-a_{10}|, |a_{10}-a_{1}|$ sean todos distintos? P6. ¿Existe un entero positivo que sea divisible por el número $\underbrace{111\ldots1}_{m\text{ digits}}$ y cuya suma de dígitos sea menor que $m$ ?

2 Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros de grados $p$ y $q$ respectivamente. Suponga que $P(x)$ divide a $Q(x)$ y que todos sus coeficientes son o bien $1$ o bien $2002$ . Demuestre que $p+1$ es un divisor de $q+1$ . Mihai Cipu

31 Demuestra que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$, entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Muestra que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$.

La función $f(n)$ está definida sobre los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0$, $f(3)>0$, $f(9999)=3333$ y para todos $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determina $f(1982)$.

35 Si el inradio de un triángulo es la mitad de su circunradio, demuestra que el triángulo es equilátero. Amir

36 Un triángulo no isósceles \(A_{1}A_{2}A_{3}\) tiene lados \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\), donde el lado \(a_{i}\) está opuesto al vértice \(A_{i}\). Sea \(M_{i}\) el punto medio del lado \(a_{i}\), y sea \(T_{i}\) el punto donde la circunferencia inscrita del triángulo \(A_{1}A_{2}A_{3}\) toca al lado \(a_{i}\). Denota por \(S_{i}\) la reflexión del punto \(T_{i}\) respecto a la bisectriz interior del ángulo \(A_{i}\). Demuestra que las rectas \(M_{1}S_{1}\), \(M_{2}S_{2}\) y \(M_{3}S_{3}\) son concurrentes.

37 Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ se dividen por puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determina $r$ si $B$, $M$ y $N$ son colineales.

38 Números \(u_{n,k} \ (1\leq k \leq n)\) se definen de la siguiente manera \[u_{1,1}=1, \quad u_{n,k}=\binom{n}{k} - \sum_{d \mid n, d \mid k, d>1} u_{n/d, k/d}.\] (la suma vacía se define como igual a cero). Demuestra que \(n \mid u_{n,k}\) para todo número natural \(n\) y para todo \(k \ (1 \leq k \leq n).\) Amir

39 Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector cero. Demuestra que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para todo punto $X$. Amir