17 Halle todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado. Amir

18 Sea $c$ el círculo inscrito del triángulo $ABC$ , $d$ una recta tangente a $c$ que no pasa por los vértices del triángulo $ABC$ . Demuestre la existencia de puntos $A_1,B_1, C_1$ , respectivamente, sobre las rectas $BC,CA,AB$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(i)$ Las rectas $AA_1,BB_1$ , y $CC_1$ son paralelas. $(ii)$ Las rectas $AA_1,BB_1$ , y $CC_1$ cortan a $d$ respectivamente en los puntos $A' ,B'$ , y $C'$ tales que \[\frac{A'A_1}{A' A}=\frac{B'B_1}{B 'B}=\frac{C'C_1}{C'C}\]

20 Demuestre que $0\le yz+zx+xy-2xyz\le{7\over27}$ , donde $x,y$ y $z$ son números reales no negativos que satisfacen $x+y+z=1$ .

21 $(1)$ Comience con $a$ bolas blancas y $b$ bolas negras. $(2)$ Extraiga una bola al azar. $(3)$ Si la bola es blanca, deténgase. En caso contrario, agregue dos bolas negras y vaya al paso $2$ . Sea $S$ el número de extracciones antes de que el proceso termine. Solo para los casos $a = b = 1$ y $a = b = 2$ , halle $a_n = P(S = n), b_n = P(S \le n), \lim_{n\to\infty} b_n$ , y el valor esperado del número de bolas extraídas: $E(S) =\displaystyle\sum_{n\ge1} na_n.$

22 En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos discordante a un par $(x_i, x_j )$ si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Halle $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$ Amir

3 La circunferencia $ \omega $ que pasa por los vértices $ A $ y $ B $ del triángulo $ ABC $ interseca los lados $ AC $ y $ BC $ en los puntos $ E $ y $ F $ , respectivamente. La circunferencia $ \Gamma $ es tangente al segmento $ EF $ en el punto $ P $ y al arco $ AB $ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ en el punto $ Q $ . Demuestre que $ C $ , $ P $ , $ Q $ están sobre una misma recta.

47 Considera todos los segmentos que dividen el área de un triángulo \(ABC\) en dos partes iguales. Encuentra la longitud del segmento más corto entre ellos, si las longitudes de los lados \(a,\) \(b,\) \(c\) del triángulo \(ABC\) están dadas. ¿Cuántos de estos segmentos más cortos existen?

46 Sean $a,b,c$ reales y \[f(a, b, c) = \left| \frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} -\frac 2c \right| +\frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} +\frac 2c\] Demuestra que $f(a, b, c) = 4 \max \{\frac 1a, \frac 1b,\frac 1c \}.$ Amir

45 Un alfabeto consta de $n$ letras. ¿Cuál es la longitud máxima de una palabra si sabemos que cualesquiera dos letras consecutivas $a,b$ de la palabra son diferentes y que la palabra no puede reducirse a una palabra del tipo $abab$ con $a\neq b$ eliminando letras?

23 Una caja $2\times 2\times 12$ fija en el espacio debe llenarse con veinticuatro ladrillos $1 \times 1 \times 2$. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto?