4 Sea $S=\{(x,y,z)\in \mathbb{Z}^3\}$ el conjunto de puntos con coordenadas enteras en el espacio. Gugu tiene infinitas esferas sólidas, todas con radios $\ge (\frac{\pi}2)^3$ . ¿Es posible que Gugu cubra todos los puntos de $S$ con sus esferas?

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y $T=AC\cap BD$ . Sean $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ los incentros de $\Delta TAB$ , $\Delta TBC$ , $TCD$ , $TDA$ , respectivamente, y $J_1$ , $J_2$ , $J_3$ , $J_4$ los incentros de $\Delta ABC$ , $\Delta BCD$ , $\Delta CDA$ , $\Delta DAB$ . Demuestre que $I_1I_2I_3I_4$ es un cuadrilátero cíclico y que su centro es $J_1J_3\cap J_2J_4$

6 Decimos que $H$ permea a $G$ si $G$ y $H$ son grupos finitos y para todo subgrupo $F$ de $G$ existe $H'\cong H$ con $H'\le F$ o $F\le H'\le G$ . Suponga que un grupo no abeliano $H$ permea a $G$ y sea $S=\langle H'\le G | H'\cong H\rangle$ . Demuestre que $$|\bigcap_{H'\in S} H'|>1$$

5 Las alturas $BB_1$ y $CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se intersecan en $H$ , y $\angle A = 60^{o}$ , $AB < AC$ . La mediana $AM$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $K$ ; $L$ es el punto medio del arco $BC$ de la circunferencia circunscrita que no contiene al punto $A$ ; las rectas $B_1C_1$ y $BC$ se intersecan en el punto $E$ . Demuestre que $\angle EHL = \angle ABK$ .

6 Se da un círculo $\Omega$ tangente al lado $AB$ del ángulo $\angle BAC$ y situado fuera de este ángulo. Consideramos círculos $w$ inscritos en el ángulo $BAC$ . La tangente interna de $\Omega$ y $w$ , distinta de $AB$ , toca a $w$ en un punto $K$ . Sea $L$ el punto de tangencia de $w$ y $AC$ . Demuestre que todas esas rectas $KL$ pasan por un punto fijo, sin depender de la elección del círculo $w$ .

1 En el triángulo ABC, $\angle ABC=60^{o}$ y $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita. La bisectriz $BL$ interseca a la circunferencia circunscrita en el punto $W$ . Demuestre que $OW$ es tangente a $(BOL)$

2 Los puntos $X_1$ y $X_2$ se mueven a lo largo de círculos fijos con centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, de modo que $O_1X_1 \parallel O_2X_2$ . Halle el lugar geométrico del punto de intersección de las rectas $O_1X_2$ y $O_2X_1$ .

3 En un triángulo acutángulo $ABC$ , la recta $OI$ es paralela al lado $BC$ . Demuestre que el centro del círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ se encuentra en la recta $MI$ , donde $M$ es el punto medio de $BC$ .

4 Se da un tetraedro isósceles $PABC$ (cuyas caras son triángulos iguales). Sean $A_0$ , $B_0$ y $C_0$ los puntos de tangencia del círculo inscrito en el triángulo $ABC$ con los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ , respectivamente; $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ son los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas de los triángulos $PCA$ , $PAB$ y $PBC$ con las prolongaciones de los lados $PA$ , $PB$ y $PC$ , respectivamente (más allá de los puntos $A$ , $B$ , $C$ ) . Demuestre que las rectas $A_0A_1$ , $B_0B_1$ y $C_0C_1$ se intersecan en un punto.

6 Los puntos $C_1$ y $C_2$ se encuentran en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ , donde el punto $C_1$ pertenece al segmento $AC_2$ y $\angle ACC_1= \angle BCC_2$ . En los segmentos $CC_1$ y $CC_2$ se toman puntos $A'$ y $B'$ tales que $\angle CAA'= \angle CBB' = \angle C_1CC_2$ . Demuestre que el centro del círculo $(CA'B')$ se encuentra en la mediatriz del segmento $AB$ .