2 Las ciudades de Terra Brasilis están conectadas por algunas carreteras. No hay dos ciudades conectadas directamente por más de una carretera. Se sabe que es posible ir de una ciudad a cualquier otra usando una o más carreteras. Llamamos ciclo a cualquier ruta cerrada de carreteras (es decir, que comienza en una ciudad y termina en la misma ciudad) que no pasa por una ciudad más de una vez. En Terra Brasilis, todos los ciclos pasan por un número impar de ciudades. El gobierno de Terra Brasilis decidió cerrar algunos ciclos para reforma. Al cerrar un ciclo, todas sus carreteras quedan cerradas, de modo que no se permite el tráfico en esas carreteras. Al hacer esto, Terra Brasilis quedó dividida en varias regiones de modo que, desde cualquier ciudad de cada región es posible llegar a cualquier otra de la misma región por carretera, pero no es posible llegar a ciudades de otras regiones. Demuestre que el número de regiones es impar. Redacción original: As cidades da Terra Brasilis sao conectadas por algumas estradas. Nao ha duas cidades conectadas diretamente por mais de uma estrada. Sabe-se que, e possivel ir de uma cidade para qualquer outra utilizando uma ou mais estradas. Chamamos de rol^e qualquer rota fechada de estradas (isto e, comeca em uma cidade e termina na mesma cidade) que nao passa por uma cidade mais de uma vez. Na Terra Brasilis, todos os roles passam por quantidades impares de cidades. O governo da Terra Brasilis decidiu fechar alguns roles para reforma. Ao fechar um role, todas as suas estradas sao interditadas, de modo que nao e permitido o trafego nessas estradas. Ao fazer isso, a Terra Brasilis ficou dividida em varias regioes de modo que, de qualquer cidade de cada regiao e possivel hegar a qualquer outra da mesma regiao atraves de estradas, mas nao e possivel hegar a cidades de outras regioes. Prove que o numero de regioes e impar.

1 Sean $A, B, C, D, E$ puntos de un círculo de radio r, en ese orden, tales que $AC = BD = CE = r$ . Los puntos $H_1, H_2, H_3$ son los ortocentros de los triángulos $ACD$ , $BCD$ y $BCE$ , respectivamente. Demuestre que $H_1H_2H_3$ es un triángulo rectángulo.

4 Se da un cuadrilátero convexo $ ABCD$ . Demuestre que existe un punto $ P$ en el interior del cuadrilátero tal que \[ \angle PAB + \angle PDC = \angle PBC + \angle PAD = \angle PCD + \angle PBA = \angle PDA + \angle PCB = 90^{\circ} \] si y solo si las diagonales $ AC$ y $ BD$ son perpendiculares. Propuesto por Dusan Djukic, Serbia

3 En el plano coordenado considere el conjunto $ S$ de todos los puntos de coordenadas enteras. Para un entero positivo $ k$ , dos puntos distintos $A$ , $ B\in S$ se llamarán $ k$ - amigos si existe un punto $ C\in S$ tal que el área del triángulo $ ABC$ es igual a $ k$ . Un conjunto $ T\subset S$ se llamará $ k$ - clique si cada dos puntos de $ T$ son $ k$ - amigos. Halle el menor entero positivo $ k$ para el cual existe un $ k$ - clique con más de 200 elementos. Propuesto por Jorge Tipe, Perú

2 Sean $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ números reales positivos con $x_1x_2x_3x_4x_5=1$ . Demuestre que $$\frac{x_1+x_1x_2x_3}{1+x_1x_2+x_1x_2x_3x_4}+\frac{x_2+x_2x_3x_4}{1+x_2x_3+x_2x_3x_4x_5}+\frac{x_3+x_3x_4x_5}{1+x_3x_4+x_3x_4x_5x_1}+\frac{x_4+x_4x_5x_1}{1+x_4x_5+x_4x_5x_1x_2}+\frac{x_5+x_5x_1x_2}{1+x_5x_1+x_5x_1x_2x_3} \ge \frac{10}{3}$$

1 Sea $r$ un número real positivo. Demuestre que el número de triángulos rectángulos con lados enteros positivos primos entre sí que tienen un inradio igual a $r$ es cero o una potencia de $2$ . redacción original: Sea r un numero real positivo. Demuestre que el numero de triangulos rectangulos con lados enteros positivos primos entre si que poseen inradio igual a r es cero o una potencia de 2.

4 Sea $ S = \{x_1, x_2, \ldots, x_{k + l}\}$ un conjunto de $ (k + l)$ elementos de números reales contenido en el intervalo $ [0, 1]$ ; $ k$ y $ l$ son enteros positivos. Un subconjunto de $ k$ elementos $ A\subset S$ se llama bueno si \[ \left |\frac {1}{k}\sum_{x_i\in A} x_i - \frac {1}{l}\sum_{x_j\in S\setminus A} x_j\right |\le \frac {k + l}{2kl}\] Demuestre que el número de subconjuntos buenos es al menos $ \dfrac{2}{k + l}\dbinom{k + l}{k}$ . Propuesto por Andrey Badzyan, Rusia

3 Sea $ S\subseteq\mathbb{R}$ un conjunto de números reales. Decimos que un par $ (f, g)$ de funciones de $ S$ en $ S$ es una Pareja Española sobre $ S$ si satisface las siguientes condiciones: (i) Ambas funciones son estrictamente crecientes, es decir, $ f(x) < f(y)$ y $ g(x) < g(y)$ para todos $ x$ , $ y\in S$ con $ x < y$ ; (ii) La desigualdad $ f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right) < g\left(f\left(x\right)\right)$ se cumple para todo $ x\in S$ . Decida si existe una Pareja Española sobre el conjunto $ S = \mathbb{N}$ de los enteros positivos; sobre el conjunto $ S = \{a - \frac {1}{b}: a, b\in\mathbb{N}\}$ . Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos

2 Dado un trapecio $ ABCD$ con lados paralelos $ AB$ y $ CD$ , suponga que existen puntos $ E$ sobre la recta $ BC$ fuera del segmento $ BC$ , y $ F$ dentro del segmento $ AD$ tales que $ \angle DAE = \angle CBF$ . Denote por $ I$ el punto de intersección de $ CD$ y $ EF$ , y por $ J$ el punto de intersección de $ AB$ y $ EF$ . Sea $ K$ el punto medio del segmento $ EF$ , y suponga que no está sobre la recta $ AB$ . Demuestre que $ I$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ ABK$ si y solo si $ K$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ CDJ$ . Propuesto por Charles Leytem, Luxemburgo

1 Sea $n$ un entero positivo y sea $p$ un número primo. Demuestre que si $a$ , $b$ , $c$ son enteros (no necesariamente positivos) que satisfacen las ecuaciones \[ a^n + pb = b^n + pc = c^n + pa\] entonces $a = b = c$ . Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia