11 A y B juegan un juego. Al principio, escriben los números $2,3,\ldots,50$ en la pizarra y fijan un subconjunto no vacío $S$ de $\{2,3,\ldots,50\}$ . Luego, A borra todos los números de $S$ de la pizarra. A partir de ahora, comienzan con B y se turnan para hacer lo siguiente: - Elegir uno o más enteros, tales que ninguno de ellos sea coprimo con ningún número borrado en el último turno del oponente. Luego borrar ese número o esos números de la pizarra. Si alguien no puede elegir al menos un número y borrarlo, el juego termina. Esa persona pierde y su oponente gana. ¿Cuántos $S$ hay para los cuales A siempre tiene una estrategia ganadora, sin importar las acciones de B? YII.I.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las rectas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las perpendiculares trazadas desde el punto medio $M$ de $AB$ a las rectas $AC$ y $BC$ intersecan a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las rectas $EF$ y $MC$ , demuestre que \[\angle ADB = \angle EMF.\]

. En el triángulo $ABC$ , se traza la bisectriz $AK$ . Sobre las rectas $AB$ y $AC$ , se eligen respectivamente los puntos $E$ y $D$ ( $E \neq A,\, D \neq A$ ) . Se sabe que los puntos $E$ y $D$ están en el mismo lado de la recta $BC$ , y que $EB=BK$ y $CD=CK$ . Demuestre que si el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $EBCD$ está sobre la recta $AK$ , entonces $AB=AC$ . P2. Halle todos los números naturales $a, b, c$ tales que \[a+(b,c)=b+(c,a)=c+(a,b).\] Aquí $(x,y)$ denota el máximo común divisor de $x$ e $y$ . P3. Sean $a_{1},\, a_{2},\, \ldots,\, a_{2022}$ números naturales. Para cada par de índices $i<j$ , se escriben los números $a_{i}+a_{j},\, a_{i}a_{j}$ y $|a_{i}-a_{j}|$ . Halle el máximo número posible de números impares entre todos los números escritos. P4. Demuestre que para todos los números reales $a,b$ se cumple la siguiente desigualdad: \[a^{2}+141ab+5476b^{2}\geqslant5a+1364b-512.\]

. En la sucesión $U_{1}, U_{2}, U_{3}, \ldots$ tenemos $U_{1}=U_{2}=1$ , y cada término a partir del tercero es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos anteriores. ¿Es $U_{2003}$ divisible por $7$ ? P7. ¿Puede la suma de $2003$ números naturales consecutivos ser igual a la $2003$ -ésima potencia de un número natural? P8. Un rey se coloca en la esquina inferior izquierda de un tablero de ajedrez $5\times5$ . En un movimiento, puede moverse una casilla a la derecha, una casilla hacia arriba, o una casilla en diagonal hacia arriba a la derecha. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar el rey para llegar a la esquina superior derecha del tablero si le está prohibido visitar la casilla central? P9. Un tablero cuadrado $6\times6$ se embaldosa con dominós $1\times2$ . Demuestre que es posible trazar un corte recto vertical u horizontal del tablero que no corte ningún dominó. P10. Las diagonales de un paralelogramo $ABCD$ se cortan en el punto $O$ . Demuestre que el punto $O$ y los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $A$ a las rectas $BC$ , $BD$ y $CD$ se encuentran sobre una misma circunferencia.

8 Considere una figura que consta de $15$ círculos y $20$ segmentos, como se muestra en la figura. Rellenamos cada círculo con un número de $\{0,1,2\}$ . Para cualquier método de relleno de números, definimos el valor de belleza de este método como el número de líneas en las que la diferencia entre los números escritos en los dos círculos de sus extremos es $1$ . Si $M$ es el máximo valor de belleza posible entre todos los métodos de relleno de números, halle el número de métodos cuyo valor de belleza es $M$ . YII.I.

2 Para cualquier entero positivo, si el número de $2$ en sus cifras es mayor que el número de $3$ en sus cifras, lo llamamos un número bueno. Y si el número de $3$ en sus cifras es mayor que el número de $2$ en sus cifras, lo llamamos un número malo. Por ejemplo, hay dos $2$ y un $3$ en el número $2023$ , por lo que $2023$ es un número bueno. Pero en el número $123$ , el número de $2$ y de $3$ es uno en ambos casos, por lo que $123$ no es ni un número bueno ni un número malo. Halle la diferencia entre el número de números buenos y el número de números malos entre los enteros positivos no mayores que $2023$ . YII.I.

2 Sea $\mathcal{P}_n$ la colección de polinomios de grado $n$ tales que el polinomio y todas sus derivadas tienen raíces enteras. Halle un polinomio en $\mathcal{P}_2$ que tenga al menos $2$ raíces distintas. Halle un polinomio en $\mathcal{P}_3$ que tenga al menos $2$ raíces distintas. Para cualquier polinomio $P$ en $\mathcal{P}_n$ , demuestre que la media aritmética de todas las raíces de $P$ también es un entero.

1 Sea $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $f'$ es continua y $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ . Demuestre que existe $x_1$ en $(0, 1)$ tal que $\frac{1}{f'(x_1)} = 1$ . Demuestre que existen $x_1, x_2$ distintos en $(0, 1)$ tales que $\frac{1}{f'(x_1)} + \frac{1}{f'(x_2)} = 2$ . Demuestre que para un entero positivo $n$ , existen $x_1, x_2, \dots, x_n$ distintos en $(0, 1)$ tales que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{f'(x_i)} = n$ .

2 a) Sean $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ funciones inyectivas. Demuestre que la función $h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ definida por $h(x)=f(x)g(x)$ , para todo $x\in\mathbb{Z}$ , no puede ser una función sobreyectiva. b) Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ una función sobreyectiva. Demuestre que existen funciones sobreyectivas $g,h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que $f(x)=g(x)h(x)$ , para todo $x\in\mathbb{Z}$ .

2 Sean $a, b, c, d$ números reales positivos tales que su suma es $7$ . Demuestre la desigualdad \[\sqrt{a+2022b}+\sqrt{b+2022c}+\sqrt{c+2022d}+\sqrt{d+2022a}\leqslant238.\]