5 Una urna contiene $n$ canicas. Cada canica es roja o azul, y hay al menos $7$ canicas de cada color. Cuando se extraen al azar $7$ canicas de la urna sin reemplazo, la probabilidad de que exactamente $4$ de ellas sean rojas es igual a la probabilidad de que exactamente $5$ de ellas sean rojas. Halle la suma de los cinco menores valores de $n$ para los cuales esto es posible.

4 Para cada entero positivo $n$ sea $f(n)$ el valor del numeral en base diez $n$ interpretado en base $b$ , donde $b$ es el menor entero mayor que el dígito más grande de $n$ . Por ejemplo, si $n=72$ , entonces $b=8$ , y $72$ como numeral en base $8$ es igual a $7\cdot 8+2=58$ ; por lo tanto $f(72)=58$ . Halle el número de enteros positivos $n$ menores que $1000$ tales que $f(n)=n$ .

3 Sea $ABCDE$ un pentágono no convexo con ángulos internos $\angle A = \angle E = 90^\circ$ y $\angle B = \angle D = 45^\circ.$ Suponga que $DE < AB, AE = 20, BC = 14\sqrt2,$ y que los puntos $B,C,$ y $D$ se encuentran en el mismo lado de la recta $AE.$ Suponga además que $AB$ es un entero con $AB < 2026$ y que el área del pentágono $ABCDE$ es un múltiplo entero de $16.$ Halle el número de valores posibles de $AB.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle B > \angle C$ . Sobre la circunferencia $\mathcal{C}(O, R)$ circunscrita a este triángulo se eligen los puntos $D, E, J, K, S$ tales que $A, E, J$ y $K$ están en el mismo lado de la recta $BC$ , el diámetro $DE$ es perpendicular a la cuerda $BC$ , $S\in \overarc{EK},\overarc{AE}=\overarc{BJ}=\overarc{CK}=\dfrac{1}{4}\overarc{CE}$ . Sean $\{F\}=AC\cap DE, \{M\}=BK\cap AD, \{P\}=BK\cap AC$ y $\{Q\}=CJ\cap BF$ . Si $\angle SMK =30^{\circ}$ y $\angle AQP = 90^{\circ}$ , demuestre que la recta $MS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOF$ .

74 De una colección de $n$ personas se seleccionan $q$ equipos distintos de dos miembros y se ordenan $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el menor entero mayor o igual que $2q/n$. Muestre que hay $m$ equipos distintos que pueden listarse de modo que: (i) cada par de equipos consecutivos de la lista tiene un miembro en común y (ii) la cadena de equipos de la lista está en orden de rango. Formulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots , q$, muestre que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$, en la que cada dos aristas consecutivas tienen un vértice común, ordenadas monótonamente respecto a la numeración. Amir

2 La figura siguiente muestra una cuadrícula de $10$ cuadrados en una fila. Cada cuadrado tiene una diagonal que conecta su vértice inferior izquierdo con su vértice superior derecho. Un insecto se mueve a lo largo de los segmentos de recta de vértice en vértice, sin recorrer dos veces el mismo segmento y sin moverse nunca de derecha a izquierda a lo largo de un segmento horizontal o diagonal. Sea $N$ el número de trayectorias que el insecto puede tomar desde la esquina inferior izquierda ( $A$ ) hasta la esquina superior derecha ( $B$ ) . Una de esas trayectorias de $A$ a $B$ se muestra con los segmentos gruesos en la figura. Halle $\sqrt{N}$ . [asy] size(12cm); draw((0, 0)--(0, 1)); for (int i = 0; i <= 9; i += 1) { draw((i, 1)--(i + 1, 1)--(i + 1, 0)--(i, 0)--(i + 1, 1)); } draw((0, 0)--(0, 1)--(2, 1)--(2, 0)--(3, 1)--(3, 0)--(4, 1)--(4, 0)--(5, 0)--(5, 1)--(6, 1)--(6, 0)--(7, 1)--(8, 1)--(8, 0)--(10, 0)--(10, 1), red + linewidth(2)); label("$A$", (0, 0), dir(180)); label("$B$", (10, 1), dir(0)); [/asy]

13 Para cada entero no negativo $r$ menor que $502,$ defina \[S_r=\sum_{m\ge 0}\dbinom{10000}{502n+r},\] donde $\binom{10000}{n}$ se define como $0$ cuando $n>10000.$ Es decir, $S_r$ es la suma de todos los coeficientes binomiales de la forma $\binom{10000}{k}$ para los cuales $0\le k\le 10000$ y $k-r$ es múltiplo de $502.$ Halle el número de enteros en la lista $S_0,S_1,\dots,S_{501}$ que son múltiplos del número primo $503.$

1. En el triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle{A}= \textdegree{90}$ , se elige un punto $P$ . $D \in BC$ tal que $PD \perp BC$ . Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $PD$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denote por $X$ e $Y$ las intersecciones de $(APE)$ y $(APF)$ con $BP$ y $CP$ , respectivamente. Demuestre que $CX,BY,PD$ son concurrentes.

5 Encuentra el número de funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen $f(ab)= \frac{\gcd(f(a)+f(b) , f(a)f(b))}{\gcd(f(a), f(b))}$ para todos los números naturales $a$ y $b$.

10 Sea $\triangle ABC {}$ un triángulo con lados de longitudes $AB = 13, BC = 14,$ y $CA = 15.$ El triángulo $\triangle A'B'C'$ se obtiene rotando $\triangle ABC{}$ alrededor de su circuncentro de modo que ${}\overline{A'C'}$ es perpendicular a $\overline{BC},$ con $A'$ y $B$ no en el mismo lado de la recta $B'C'.$ Halle el entero más cercano al área del hexágono $AA'CC'BB'.$