1.2 Demuestre que es posible encontrar $2^{2021}$ pares diferentes de enteros positivos $(a_i,b_i)$ tales que: $$ \frac{1}{a_ib_i}+\frac{1}{a_2b_2} + \ldots + \frac{1}{a_{2^{2021}}b_{2^{2021}}} = 1 $$ $$ a_1+a_2 +\ldots a_{2^{2021}} +b_1+b_2 + \ldots +b_{2^{2021}} = 3^{2022} $$ Nota: Los pares $(a,b)$ y $(c,d)$ son diferentes si $a \neq c$ o $b \neq d$

1.3 Dado el triángulo isósceles $\triangle ABC$ con $AB = AC$ y $\angle BAC = 22^{\circ}$. Sobre el lado $BC$ se elige el punto $D$ tal que $BD = 2CD$. Los pies de las perpendiculares trazadas desde $B$ a las rectas $AD$ y $AC$ son los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Halle, con demostración, el valor del ángulo $\angle CEF$.

1.4 Inicialmente, en el tablero están escritos todos los enteros del $1$ al $400$. Dos jugadores juegan un juego alternando sus movimientos. En un movimiento está permitido borrar del tablero cualesquiera 3 enteros que formen un triángulo. El jugador que no puede realizar un movimiento pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

1.5 Halle todos los enteros positivos $n,k$ que satisfacen: $$ n^3 -5n+10 =2^k $$

2.1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$, y sea $D$ un punto en el interior del lado $AB$ tal que $AD< DB$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el interior de los lados $BC$ y $CA$, respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$. Sea $E$ el punto donde la mediatriz de $PQ$ corta al segmento $CQ$, y sean las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ que se cortan de nuevo en el punto $F$, diferente de $C$. Suponga que $P$, $E$, $F$ son colineales. Demuestre que $\angle ACB = 90^{\circ}$.

2.2 Para cada primo $p$, construya un grafo $G_p$ sobre $\{1,2,\ldots p\}$, donde $m\neq n$ son adyacentes si y solo si $p$ divide a $(m^{2} + 1-n)(n^{2} + 1-m)$. Demuestre que $G_p$ es disconexo para infinitos $p$

2.3 Sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x, y, z$ con coeficientes enteros. Sea $\mathcal{B}$ el subconjunto de $\mathcal{A}$ formado por todos los polinomios que pueden expresarse como \begin{align*} (x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z) \end{align*} con $P, Q, R \in \mathcal{A}$. Halle el menor entero no negativo $n$ tal que $x^i y^j z^k \in \mathcal{B}$ para todos los enteros no negativos $i, j, k$ que satisfacen $i + j + k \geq n$.

2.4 En un polígono regular de 100 lados, 41 vértices están coloreados de negro y los 59 vértices restantes están coloreados de blanco. Demuestre que existen 24 cuadriláteros convexos $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ cuyos vértices son vértices del polígono de 100 lados, de modo que los cuadriláteros $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ son disjuntos dos a dos, y todo cuadrilátero $Q_{i}$ tiene tres vértices de un color y un vértice del otro color.

2.5 Suponga que $a,b,c,d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Halle el menor valor posible de $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$ Israel

2.6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$, $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$. Denote por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ respecto a las rectas $BC$ y $CD$, respectivamente. Suponga que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en $K$ y $L$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí. $\emph{Slovakia}$