8.1 Demuestre que para todo entero positivo $n$ las ecuaciones de la forma $$x^2-\gcd(n,7272) \cdot \text{lcm}(n,7272) \cdot \left( \frac{1}{n}+\frac{1}{7272} \right) x+7272n=0$$ tienen al menos una raíz común.

8.2 Demuestre que existen infinitos números naturales $n$ tales que $$n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2022} = b_1 + b_2 + \ldots + b_{2022},$$ para algunos enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ y $b_1, b_2, \ldots, b_{2022}$ que satisfacen $$a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_{2022}, \quad b_1 \ge b_2 \ge \ldots \ge b_{2022}, \quad a_1 > b_1, \quad \text{and} \quad a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2022}= b_1 \cdot b_2 \cdot \ldots \cdot b_{2022}.$$

8.4 Se da una tabla cuadrada en cada celda de la cual está escrito un entero. Vlad y Nikita juegan un juego, realizando movimientos alternadamente. Nikita mueve primero. En un movimiento, Nikita elige una columna de la tabla y la suma elemento a elemento a, o la resta elemento a elemento de, cualquier otra columna de la tabla. En un movimiento, Vlad realiza una operación análoga, pero con filas. Vlad gana si después de algún movimiento de cualquiera de los jugadores aparece en la tabla una fila o una columna formada enteramente por ceros. ¿Puede Vlad garantizar la victoria sin importar el juego de Nikita? En caso afirmativo, ¿cómo debe jugar si la tabla inicial es de la forma a) y de la forma b): [asy] size(2cm); draw((0,0)--(2,0)--(2,2)--(0,2)--cycle); draw((1,0)--(1,2)); draw((0,1)--(2,1)); label("$1$", (0.5,1.5)); label("$3$", (1.5,1.5)); label("$2$", (0.5,0.5)); label("$4$", (1.5,0.5)); [/asy] [asy] size(2cm); draw((0,0)--(2,0)--(2,2)--(0,2)--cycle); draw((1,0)--(1,2)); draw((0,1)--(2,1)); label("$7$", (0.5,1.5)); label("$3$", (1.5,1.5)); label("$2$", (0.5,0.5)); label("$6$", (1.5,0.5)); [/asy]

8.5 En una pizarra está escrito el número $98765432$ . Dos jugadores se turnan para tachar dígitos. El jugador que, después de su movimiento, deja sin dígitos o forma un número divisible por 3, pierde. Determine quién gana (el primer o el segundo jugador) sin importar los movimientos del oponente.

9.1 En la rama izquierda de la hipérbola $y = \frac{1}{x}$ se elige el punto $A$ , y en la rama derecha se elige el punto $C$ . Las perpendiculares a $AC$ en los puntos $A$ y $C$ cortan a la hipérbola nuevamente en $B$ y $D$ , respectivamente. Sea $E$ la intersección de las rectas $AC$ y $BD$ , y sea $O$ el origen. Demuestre que las pendientes de las rectas $OE$ y $AB$ son iguales en valor absoluto pero tienen signos opuestos.

9.2 Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ y sea $P$ un punto exterior a ella. Para todo diámetro $BC$ de $\omega$ (los puntos $B,P,C$ no son colineales), considere la circunferencia circunscrita del triángulo $PBC$ . Demuestre que, sin importar la elección de $BC$ , todas estas circunferencias circunscritas pasan por un único punto distinto de $P$ .

9.3 Demuestre que existen infinitos números naturales $n$ tales que $$n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4,$$ donde $a_1, a_2, a_3, a_4$ son números naturales coprimos dos a dos, y $b_1, b_2, b_3, b_4$ son números naturales coprimos dos a dos, tales que $$a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge a_4, \quad b_1 \ge b_2 \ge b_3 \ge b_4, \quad a_1 > b_1, \quad \text{and} \quad a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4= b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4.$$

9.4 Se da una tabla cuadrada en cada celda de la cual está escrito un entero. Vlad y Nikita juegan un juego, realizando movimientos alternadamente. Nikita mueve primero. En un movimiento, Nikita elige una columna de la tabla y la suma elemento a elemento a, o la resta elemento a elemento de, cualquier otra columna de la tabla. En un movimiento, Vlad realiza una operación análoga, pero con filas. Vlad gana si después de algún movimiento de cualquiera de los jugadores aparece en la tabla una fila o una columna formada enteramente por ceros. ¿Puede Vlad garantizar la victoria sin importar el juego de Nikita? En caso afirmativo, ¿cómo debe jugar si la tabla inicial es de la forma a) y de la forma b): [asy] size(2cm); draw((0,0)--(2,0)--(2,2)--(0,2)--cycle); draw((1,0)--(1,2)); draw((0,1)--(2,1)); label("$1$", (0.5,1.5)); label("$2$", (1.5,1.5)); label("$3$", (0.5,0.5)); label("$4$", (1.5,0.5)); [/asy] [asy] size(2cm); draw((0,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--cycle); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,0)--(2,3)); draw((0,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); label("$2$", (0.5,2.5)); label("$9$", (1.5,2.5)); label("$4$", (2.5,2.5)); label("$7$", (0.5,1.5)); label("$5$", (1.5,1.5)); label("$3$", (2.5,1.5)); label("$6$", (0.5,0.5)); label("$1$", (1.5,0.5)); label("$8$", (2.5,0.5)); [/asy]

9.5 En una pizarra está escrito el número $$98765432198765432$$ . Dos jugadores se turnan para tachar dígitos. El jugador que, después de su movimiento, deja sin dígitos o forma un número divisible por 3, pierde. Determine quién gana (el primer o el segundo jugador) sin importar los movimientos del oponente.

10.1 Sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ y sea $P$ un punto exterior a ella. Sobre la circunferencia se marca un punto $B$ tal que $O$ , $B$ y $P$ no son colineales. Sea $C$ el punto medio de $OB$ . Considere la circunferencia circunscrita del triángulo $PBC$ . Demuestre que, sin importar la elección de $B$ , todas estas circunferencias circunscritas pasan por un único punto distinto de $P$ .