1 Tenemos $4$ círculos en el plano tales que cualesquiera dos de ellos son tangentes entre sí. Conectamos el punto de tangencia de dos círculos con el punto de tangencia de los otros dos círculos. Demuestre que estas tres rectas son concurrentes. Propuesto por Masoud Nourbakhsh

3 En el triángulo $ABC$ , $X$ y $Y$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita (con centro $I$ ) con los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Una recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ (con centro $O$ ) en el punto $A$ interseca a la extensión de $BC$ en $D$ . Si $D,X$ y $Y$ son colineales, entonces demuestre que $D,I$ y $O$ también son colineales. Propuesto por Amirhossein Zabeti

$ABC$$O$$I$$X$$I$$O$$A_1$$X$$BC$$B_1$$C_1$$AA_1$$BB_1$$CC_1$

1 Un dodecaedro regular es un poliedro convexo cuyas caras son pentágonos regulares. El dodecaedro regular tiene veinte vértices y hay tres aristas conectadas a cada vértice. Suponga que hemos marcado diez vértices del dodecaedro regular. a) Demuestre que podemos rotar el dodecaedro de tal manera que a lo sumo cuatro vértices marcados vayan a un lugar donde antes había un vértice marcado. b) Demuestre que el número cuatro de la parte anterior no puede ser reemplazado por tres. Propuesto por Kasra Alishahi

2 a) Demuestre que para todo par de números naturales $n$ y $k$ , tenemos polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros, digamos $A=\{P_1(x),.....,P_k(x)\}$ , tales que no haya dos de ellos con un factor común y para todo subconjunto de $A$ , la suma de los elementos de $A$ tenga todas sus raíces reales. b) ¿Existen infinitos polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros, digamos $P_1(x),P_2(x),....$ , tales que no haya dos de ellos con un factor común y la suma de un número finito de ellos tenga todas sus raíces reales? Propuesto por Mohammad Mansouri

4 La escalera eléctrica de la estación del carnicero campeón tiene esta propiedad: si hay $m$ personas sobre ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ , donde $\alpha$ es un número real positivo fijo. Suponga que $n$ personas quieren subir por la escalera eléctrica y el ancho de los escalones es tal que todas las personas pueden estar de pie en un escalón. Si la longitud de la escalera eléctrica es $l$ , ¿cuál es el menor tiempo necesario para que estas personas suban? ¿Por qué? Propuesto por Mohammad Ghiasi

2 $R$ es un anillo tal que $xy=yx$ para todo $x,y\in R$ y si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ . Si para todo ideal $I\subset R$ existen $x_1,x_2,..,x_n$ en $R$ ( $n$ no es constante) tales que $I=(x_1,x_2,...,x_n)$ , demuestre que todo elemento de $R$ que no es $0$ y no es una unidad es el producto de un número finito de elementos irreducibles. ( $\frac{100}{6}$ puntos)

4 Para números reales positivos $a,b$ y $c$ tenemos $a+b+c=3$ . Demuestre que $\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$ . Propuesto por Mohammad Ahmadi

3 Definimos el polinomio $f(x)$ en $\mathbb R[x]$ como sigue: $f(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+.....+a_1x+a_0$ Demuestre que existe un $i$ en el conjunto $\{1,....,n\}$ tal que tenemos $|f(i)|\ge \frac{n!}{\dbinom{n}{i}}$ . Propuesto por Mohammadmahdi Yazdi

5 Dado el triángulo $ABC$ , $D$ es el pie de la bisectriz exterior del ángulo $A$ , $I$ su incentro e $I_a$ su $A$ -excentro. La perpendicular desde $I$ a $DI_a$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo en $A'$ . Defina $B'$ y $C'$ de manera análoga. Demuestre que $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes. Propuesto por Amirhossein Zabeti