8 ¿Cuántas sucesiones de enteros positivos $(a_1,a_2,\ldots,a_{2022})$ satisfacen que $a_1<a_2<\ldots<a_{2022}$ , y $$a_1^2-6^2\geq a_2^2-7^2\geq\ldots\geq a_{2022}^2-2027^2$$ YII.I.

9 ¿Cuántas reordenaciones $(p_1,p_2,\ldots,p_{1000})$ de la sucesión $1,2,\ldots,1000$ satisfacen que para cualquier entero $1\leq i\leq 999$ , tenemos $i\mid p_i$ ? YII.I.

10 ¿De cuántas maneras se pueden escoger $25$ números de $1,2,\ldots,50$ tales que para cualesquiera dos números distintos que escojamos, ninguno sea divisor del otro. YII.I.

11 Para cualquier entero positivo $n$ , definimos la función $f(n)$ como $$f(n)=\left\{\begin{aligned} &n^{100} &&&& \text{if the sum of the digits of}~n~\text{is even} \\ &-n^{100} &&&& \text{if the sum of the digits of}~n~\text{is odd} \end{aligned}\right.$$ Suponga que $S=f(1)+f(2)+\ldots+f(10^{100}-1)$ . Halle el mayor entero no negativo $m$ , tal que $5^m\mid S$ . YII.I.

12 Hay un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB=11$ , $AC=10$ . Suponga que $H$ es su ortocentro, y $M$ es el punto medio del lado $BC$ . Si existe un punto $P$ dentro de $\triangle ABC$ , tal que $P$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo BHC, y $\angle ABP=\angle CPM$ , $PM=3$ , halle la longitud de $BC$ . YII.I.

. Kairat y Malika viven en el mismo edificio de apartamentos. Cada entrada tiene el mismo número de apartamentos, con $4$ apartamentos en cada piso. Kairat vive en el tercer piso en el apartamento $83$ , y Malika vive en el séptimo piso en el apartamento $205$ . ¿Cuántos pisos hay en el edificio? P2. Resuelva el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{aligned} x^{2}+4x &=7-5y, \\ y^{2}+2x &=9y-20. \end{aligned}\right.\] P3. En el triángulo $ABC$ , se traza la bisectriz $AL$ . Sobre el lado $AC$ , se elige un punto $K$ tal que la recta $LK$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Se sabe que $BL=4$ y $AL=CL=5$ . Halle la longitud del segmento $CK$ .

. Resuelva el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{aligned} x^{2}+4x &=9-5y, \\ y^{2}+2x &=9y-22. \end{aligned}\right.\] P2. Halle la última cifra del número $1^{2022}+2^{2022}+\cdots+2021^{2022}$ . P3. Dentro de un triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=BC$ ) , se elige un punto $P$ . Se sabe que $\angle BAC=30^\circ,\, AP=2\sqrt{3},\, BP=2,\, CP=2\sqrt{6}$ . Halle el área del triángulo $ABC$ .

. Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para todo $x$ real se cumple la identidad $16P(x^{2})=(P(2x))^{2}$ . P2. La sucesión $(a_{n})$ se define para todos los números naturales $n$ mediante \[a_{n}=\sqrt{1+{\underbrace{99\ldots9}_{n\text{ digits}}}^{2}+{\underbrace{0,99\ldots9}_{n\text{ digits}}}^{2}}.\] Calcule $\{S\}$ , donde $S=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2022}$ . Aquí $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de un número $x$ . Por ejemplo, $\{5.64\}=5.64-5=0.64$ . P3. Dentro de un triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=BC$ ) , se elige un punto $P$ . Se sabe que $\angle BAC=30^\circ,\, AP=2\sqrt{3},\, BP=2,\, CP=2\sqrt{6}$ . Halle el área del triángulo $ABC$ .

. Llamamos buena a una terna de números consecutivos $(a,b,c)$ si $(b^{2}-ac)$ es divisible por $11$ . ¿Es posible ordenar los números $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ alrededor de una circunferencia de modo que toda terna de números consecutivos sea buena? P2. Los puntos $D$ y $E$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ , y $BH$ es su altura. Se sabe que el triángulo $DEH$ es equilátero. Demuestre que el triángulo $ABC$ también es equilátero. P3. Resuelva el siguiente sistema en números naturales: \[\left\{\begin{aligned} a+b+c+d+e &=2021^{2022}, \\ a^{729}+b^{243}+c^{81}+d^{27}+e^{9} &=20222021^{2021}. \end{aligned}\right.\]

Nivel 2 Cada respuesta correcta vale 2 puntos.