4 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$ para todos los números reales $ x$ e $ y$ . Propuesto por B.J. Venkatachala, India

1 Un trinomio cuadrático $P(x)$ con coeficiente de $x^2$ igual a uno es tal que $P(x)$ y $P(P(P(x)))$ comparten una raíz. Demuestre que $P(0)*P(1)=0$ .

2 Sea $n \geq 2$ un entero fijo. Halle la menor constante $C$ tal que la desigualdad \[\sum_{i<j} x_{i}x_{j} \left(x^{2}_{i}+x^{2}_{j} \right) \leq C \left(\sum_{i}x_{i} \right)^4\] se cumple para cualesquiera $x_{1}, \ldots ,x_{n} \geq 0$ (la suma de la izquierda consta de $\binom{n}{2}$ sumandos). Para esta constante $C$ , caracterice los casos de igualdad.

C5 Sea $N$ un entero positivo. Geoff y Ceri juegan un juego en el que comienzan escribiendo los números $1, 2, \dots, N$ en un tablero. Luego se turnan para hacer un movimiento, comenzando por Geoff. Cada movimiento consiste en elegir un par de enteros $(k, n)$ , donde $k \geq 0$ y $n$ es uno de los enteros del tablero, y luego borrar todo entero $s$ del tablero tal que $2^k \mid n - s$ . El juego continúa hasta que el tablero queda vacío. El jugador que borra el último entero del tablero pierde. Determine todos los valores de $N$ para los cuales Geoff puede asegurar que gana, sin importar cómo juegue Ceri.

4 Halle $26$ elementos de $\{1, 2, 3, ... , 40\}$ tales que el producto de dos de ellos nunca sea un cuadrado. Demuestre que no se pueden encontrar $27$ elementos de este tipo.

3 En el triángulo $ABC$ , la altura que pasa por $B$ interseca a $AC$ en $E$ y la altura que pasa por $C$ interseca a $AB$ en $F$ . El punto $T$ es tal que $AETF$ es un paralelogramo y los puntos $ A$ , $T$ están en semiplanos distintos con respecto a la recta $EF$ . El punto $D$ es tal que $ABDC$ es un paralelogramo y los puntos $ A$ , $D$ están en semiplanos distintos con respecto a la recta $BC$ . Demuestre que $T, D$ y el ortocentro de $ABC$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ , y $A$ - circunferencia exinscrita $\Gamma$ . Sean $A_1,B_1,C_1$ los puntos de tangencia de $\Gamma$ con $BC,AC$ y $AB$ , respectivamente. Suponga que $IA_1, IB_1$ y $IC_1$ intersecan a $\Gamma$ por segunda vez en los puntos $A_2,B_2,C_2$ , respectivamente. $M$ es el punto medio del segmento $AA_1$ . Si la intersección de $A_1B_1$ y $A_2B_2$ es $X$ , y la intersección de $A_1C_1$ y $A_2C_2$ es $Y$ , demuestre que $MX=MY$ .

2 En el triángulo $ABC$ , la circunferencia inscrita toca a los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ , respectivamente. Sea $X$ el pie de la altura desde el vértice $D$ sobre el lado $EF$ del triángulo $DEF$ . Demuestre que $AX,BY$ y $CZ$ son concurrentes sobre la recta de Euler del triángulo $DEF$ .

2 Un rectángulo se divide en un número finito de rectángulos pequeños. Llamamos punto cruz a un punto que pertenece a cuatro rectángulos pequeños distintos. Llamamos segmento maximal a un segmento del diagrama obtenido tal que no hay otro segmento que lo contenga. Demuestra que el número de segmentos maximales más el número de puntos cruz es $3$ más que el número de rectángulos pequeños. Amir

5 Se dice que un entero $n$ es bueno si $|n|$ no es el cuadrado de un entero. Determine todos los enteros $m$ con la siguiente propiedad: $m$ puede representarse, de infinitas maneras, como suma de tres enteros buenos distintos cuyo producto es el cuadrado de un entero impar. Propuesto por Hojoo Lee, Corea