12 Dado el triángulo acutángulo $ABC$ ( $AB<AC$ ) , $H$ es el ortocentro. El punto $D(\neq B)$ está sobre la recta $BC$ tal que $AB=AD$ , y $P$ sobre el segmento $BD$ . $E(\neq B)$ es el punto de intersección de la recta $BH$ y $(ABC)$ , $Q(\neq D)$ es el punto de intersección de $(ABD)$ y $(PHD)$ . Sea $Q'$ un punto tal que $Q$ y $Q'$ son simétricos respecto de la recta $AB$ . Demuestre que $B, E, P, Q'$ son concíclicos.

11 Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular $1\times n^2$ formada por $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consiste en un número de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y la $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograrlo.

4 Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC,$ sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC,$ y sea $r$ su radio. Se elige el punto $P$ sobre $\overline{AC}$ tal que $BC=CP,$ y el punto $S$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $\overline{AB}$ . El rayo $BP$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $D$ . Se elige el punto $Q$ sobre la recta $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ están sobre una recta en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$ . Demuestre que $E$ está sobre $\omega$ .

5 Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \[ f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b). \] KevinYang2.71

Sean $a,b,c$ números reales no negativos tales que $a+b+c=9$ . Determine el valor más pequeño y el más grande que puede tomar la siguiente expresión \[2a^2+2b^2+2c^2+abc\] . Propuesto por Santiago Rodriguez

7 Determine la longitud máxima $L$ de una sucesión $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisface las dos propiedades siguientes: todo término de la sucesión es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsucesión consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

6 Halle todas las cuádruplas $(a, b, c, d)$ de enteros positivos tales que $$2^a3^b + 4^c5^d = 2^b3^a + 4^d5^c.$$

8 Halle todas las funciones $f:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ tales que $$f(x, y)^2+f(y^4, z)+2xy^4z$$ sea un cuadrado perfecto para todos los enteros positivos $x, y, z$ .

9 Sea $N$ un entero positivo. Demuestre que existen tres permutaciones $a_1,\dots,a_N$ , $b_1,\dots,b_N$ y $c_1,\dots,c_N$ de $1,\dots,N$ tales que \[\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023\] para todo $k=1,2,\dots,N$ .

10 Sean $a_1<a_2<a_3<\dots$ enteros positivos tales que $a_{k+1}$ divide a $2(a_1+a_2+\dots+a_k)$ para todo $k\geqslant 1$ . Suponga que para infinitos primos $p$ existe $k$ tal que $p$ divide a $a_k$ . Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe $k$ tal que $n$ divide a $a_k$ .