2 Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian están en un círculo, ubicados en ese orden. Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian tienen cada uno un trozo de papel, en el que están escritos los números reales $a,b,c,d,e,f$ respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número en su papel por la suma de tres números; el número que estaba al comienzo del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos. Al final del minuto $2022, 2022$ reemplazos se han hecho y cada persona tiene en su papel su número inicial. Halle todos los valores posibles de $abc+def$ . $\textbf{Note:}$ Si al comienzo del minuto $N$ Ana, Beto, Carlos tienen los números $x,y,z$ , respectivamente, entonces al final del minuto $N$ , Beto va a tener el número $x+y+z$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $D$ la intersección de $AO$ y $BH$ . Sea $P$ el punto sobre $AB$ tal que $PH=PD$ . Demuestre que los puntos $B, D, O$ y $P$ están sobre una circunferencia.

4 Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes entre sí y tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$ , donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$ . Demuestre que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

5 Esteban el alquimista tiene $8088$ piezas de cobre, $6066$ piezas de bronce, $4044$ piezas de plata y $2022$ piezas de oro. Puede tomar dos piezas de metales diferentes y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de metales diferentes de los que tomó y diferentes entre sí. Halle el mayor número de piezas de oro que Esteban puede obtener después de usar el martillo mágico un número finito de veces. $\textbf{Note:}$ Si Esteban toma una pieza de cobre y una de bronce, entonces las convierte en una pieza de plata y una de oro.

6 Un entero positivo $n$ es $inverosimil$ si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que la suma y el producto de estos enteros son iguales a $n$ . ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales que $2022$ son $inverosimils$ ?

6 En un estanque hay $n \geq 3$ piedras dispuestas en un círculo. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden y luego colocar algunos sapos sobre las piedras. Una vez que todos los sapos están ubicados, comienzan a saltar en el sentido de las agujas del reloj, de acuerdo con la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada con el número $k$ , espera $k$ minutos y luego salta a la piedra adyacente. ¿Cuál es el mayor número de sapos para el cual la princesa puede etiquetar las piedras y colocar los sapos de tal manera que en ningún momento dos sapos ocupen una piedra al mismo tiempo? Nota: Se considera que una piedra está ocupada por dos sapos al mismo tiempo solo si hay dos sapos que están sobre la piedra durante al menos un minuto.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en una circunferencia $k$ . Se da que la tangente desde $A$ a la circunferencia corta a la recta $BC$ en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección de la circunferencia $k$ con la recta $BM$ . La recta $PR$ corta nuevamente a la circunferencia $k$ en el punto $S$ distinto de $R$ . Demuestre que las rectas $AP$ y $CS$ son paralelas. Valentin

3 Demuestre que existen (a) 5 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay 8 triángulos rectángulos; (b) 64 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay al menos 2005 triángulos rectángulos. Valentin

4 Halle todos los enteros positivos de 3 dígitos $\overline{abc}$ tales que \[ \overline{abc} = abc(a+b+c) , \] donde $\overline{abc}$ es la representación decimal del número. Valentin

1 $\boxed{A1}$ Halle todas las ternas ordenadas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones $x^3=\frac{z}{y}-\frac {2y}{z}$ $y^3=\frac{x}{z}-\frac{2z}{x}$ $z^3=\frac{y}{x}-\frac{2x}{y}$