3 Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD, BE, CF$ y ortocentro $H$. La mediatriz de $HD$ corta a $EF$ en $P$ y $N$ es el centro de la circunferencia de los nueve puntos. Sea $L$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $\angle PLN=90^{\circ}$ y $A, L$ están en lados distintos de la recta $PN$. Demuestra que $ANDL$ es cíclico.

39 Sea $n$ un entero positivo, $n \geq 2$ , y considere la ecuación polinómica \[x^n - x^{n-2} - x + 2 = 0.\] Para cada $n,$ determine todos los números complejos $x$ que satisfacen la ecuación y tienen módulo $|x| = 1.$ Amir

36 Considere los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ (k=1,2,\ldots n-1)$ . Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\binom{n}{1},\binom{n}{2},\ldots ,\binom{n}{n-1}$ son todos números pares.

1 Sea $P$ un punto exterior al círculo $C$ . Sean $PA$ y $PB$ las tangentes al círculo trazadas desde $C$ . Elija un punto $K$ sobre $AB$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $PBK$ interseca a $C$ nuevamente en $T$ . Sea ${P}'$ el reflejo de $P$ con respecto a $A$ . Demuestre que \[ \angle PBT = \angle {P}'KA \]

2014.6 La bandera de la Isla Esmeralda, ilustrada en la figura, tiene la peculiaridad de ser cuadrada. La isla está representada en verde, en la intersección de dos triángulos equiláteros, que representan el cielo y el mar. ¿Cuál es el área de la tela verde en una bandera de $12$ m $^2$?

33 Sea a un número real tal que $0 < a < 1$ , y sea $n$ un entero positivo. Defina la sucesión $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ recursivamente mediante \[a_0 = a, \quad a_{k+1} = a_k +\frac 1n a_k^2 \quad \text{ for } k = 0, 1, \ldots, n - 1.\] Demuestre que existe un número real $A$ , que depende de $a$ pero es independiente de $n$ , tal que \[0 < n(A - a_n) < A^3.\] Amir

37 Sean $a, b$ , y $c$ los tres lados de una mesa de billar con forma de triángulo equilátero. Una bola es colocada en el punto medio del lado $a$ y luego es impulsada hacia el lado $b$ con dirección definida por el ángulo $\theta$ . ¿Para qué valores de $\theta$ la bola golpeará los lados $b, c, a$ en ese orden? Amir

35 Si $p$ y $q$ son números primos distintos, entonces existen enteros $x_0$ y $y_0$ tales que $1 = px_0 + qy_0.$ Determine el valor máximo de $b - a$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos con la siguiente propiedad: Si $a \leq t \leq b$ , y $t$ es un entero, entonces existen enteros $x$ y $y$ con $0 \leq x \leq q - 1$ y $0 \leq y \leq p - 1$ tales que $t = px + qy.$ Amir

32 Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ $n$ números reales tales que $0<a\le a_k\le b$ para $k=1,2,\ldots ,n$ . Si $m_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ y $m_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2)$ , demuestre que $m_2\le\frac{(a+b)^2}{4ab}m_1^2$ y halle una condición necesaria y suficiente para la igualdad.

40 Tres jugadores $A,B$ y $C$ juegan un juego con tres cartas y en cada una de estas $3$ cartas está escrito un entero positivo, todos los $3$ números son diferentes. Un juego consiste en barajar las cartas, dar a cada jugador una carta y a cada jugador se le atribuye un número de puntos igual al número escrito en la carta y luego devuelven las cartas. Después de un número $(\geq 2)$ de juegos descubrimos que A tiene $20$ puntos, $B$ tiene $10$ puntos y $C$ tiene $9$ puntos. También sabemos que en el último juego B tenía la carta con el número más grande. ¿Quién tuvo en el primer juego la carta con el segundo valor (es decir, la carta del medio respecto a su valor)?