3 Una función $f(x)$ definida para $x\ge 0$ satisface las siguientes condiciones: i. para $x,y\ge 0$ , $f(x)f(y)\le x^2f(y/2)+y^2f(x/2)$ ; ii. existe una constante $M$ ( $M>0$ ) tal que $|f(x)|\le M$ cuando $0\le x\le 1$ . Demuestre que $f(x)\le x^2$ .

2 Sea $x$ un número natural. Llamamos $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ una cadena de factores de $x$ si la sucesión $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisface las siguientes condiciones: (1) $x_0=1, x_l=x$ ; (2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$ . Asimismo, definimos $l$ como la longitud de la cadena de factores $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ . Denotemos por $L(x)$ y $R(x)$ la longitud y el número de la cadena de factores más larga de $x$ respectivamente. Para $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$ , donde $k,m,n$ son números naturales, halle el valor de $L(x)$ y $R(x)$ .

5 Dado un conjunto finito $X$ , sea $f$ una regla tal que $f$ asigna a todo subconjunto de cardinal par $E$ de $X$ (es decir, $E \subseteq X$ , $|E|$ es par) un número real $f(E)$ . Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (I) existe un subconjunto de cardinal par $D$ de $X$ tal que $f(D)>1990$ ; (II) para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos de cardinal par $A,B$ de $X$ , se cumple la ecuación $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$ . Demuestre que existen dos subconjuntos $P,Q$ de $X$ que satisfacen: (1) $P\cap Q=\emptyset$ , $P\cup Q=X$ ; (2) para cualquier subconjunto de cardinal impar $S$ de $P$ (es decir, $S\subseteq P$ , $|S|$ es impar), se tiene $f(S)>1990$ ; (3) para cualquier subconjunto de cardinal par $T$ de $Q$ , se tiene $f(T)\le 1990$ .

1 Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ , el lado $AB$ no es paralelo al lado $CD$ . La circunferencia $O_1$ que pasa por $A$ y $B$ es tangente al lado $CD$ en $P$ . La circunferencia $O_2$ que pasa por $C$ y $D$ es tangente al lado $AB$ en $Q$ . Las circunferencias $O_1$ y $O_2$ se cortan en $E$ y $F$ . Demuestre que $EF$ biseca al segmento $PQ$ si y solo si $BC\parallel AD$ .

6 Un balón de fútbol está cubierto por algunas piezas poligonales de cuero que están cosidas con hilos de tres colores diferentes. Sus características son las siguientes: i) cualquier arista de una pieza poligonal de cuero se cose con una arista de igual longitud de otra pieza poligonal de cuero mediante un hilo de cierto color; ii) cada nodo del balón es vértice de exactamente tres polígonos, y los tres hilos que concurren en el nodo son de colores diferentes. Demuestre que podemos asignar a cada nodo del balón un número complejo (distinto de $1$ ) tal que el producto de los números asignados a los vértices de cualquier cara poligonal sea igual a $1$ .

4 Halle todas las soluciones enteras positivas $(x,y,z,n)$ de la ecuación $x^{2n+1}-y^{2n+1}=xyz+2^{2n+1}$ , donde $n\ge 2$ y $z \le 5\times 2^{2n}$ .

3 Hay $10$ pájaros en el suelo. Para cualesquiera $5$ de ellos, hay al menos $4$ pájaros sobre una circunferencia. Determine el menor número posible de pájaros sobre la circunferencia que contiene más pájaros.

2 Dados $I=[0,1]$ y $G=\{(x,y)|x,y \in I\}$ , halle todas las funciones $f:G\rightarrow I$ tales que $\forall x,y,z \in I$ se tiene: i. $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ ; ii. $f(x,1)=x, f(1,y)=y$ ; iii. $f(zx,zy)=z^kf(x,y)$ . ( $k$ es un número real positivo independiente de $x,y,z$ . )

1 Se nos da un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el plano. ( i ) Si existe un punto $P$ en el plano tal que las áreas de $\triangle ABP, \triangle BCP, \triangle CDP, \triangle DAP$ son iguales, ¿qué condición debe satisfacer el cuadrilátero $ABCD$ ? ( ii ) Halle (con demostración) el número máximo posible de puntos $P$ que satisfacen la condición de ( i ).

3 Sea la sucesión $\{a_1,a_2,\dots \}$ de términos enteros que satisface las siguientes condiciones: 1) $a_{n+1}=3a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}, n=2,3,\dots$ ; 2) $2a_1=a_0+a_2-2$ ; 3) para cualquier número natural $m$ , existen $m$ términos consecutivos $a_k, a_{k-1}, \dots ,a_{k+m-1}$ en la sucesión tales que esos $m$ términos son todos cuadrados perfectos. Demuestre que todos los términos de la sucesión $\{a_1,a_2,\dots \}$ son cuadrados perfectos.