Encuentre todas las ternas de enteros $(x,y,z)$ que satisfacen \[ (x+z)^2+(y-z)^2=2xy+z. \] Propuesto por Bogdan Rublov

C5 Un economista y un estadístico juegan un juego en una calculadora que solo realiza una operación. La calculadora muestra únicamente enteros positivos y se usa de la siguiente manera: denótese por $n$ un entero que aparece en la calculadora. Una persona teclea un entero $m$ , elegido del conjunto $\{ 1, 2, . . . , 99 \}$ de los primeros $99$ enteros positivos, y si el $m\%$ del número $n$ es nuevamente un entero positivo, entonces la calculadora muestra el $m\%$ de $n$ . En caso contrario, la calculadora muestra un mensaje de error y esta operación no está permitida. El juego consiste en realizar alternadamente estas operaciones y el jugador que no puede realizar la operación pierde. ¿Cuántos números de $\{1, 2, . . . , 2019\}$ garantizan la estrategia ganadora para el estadístico, que juega segundo? Por ejemplo, si la calculadora muestra $1200$ , el economista puede teclear $50$ , dando el número $600$ en la calculadora; entonces el estadístico puede teclear $25$ dando el número $150$ . Ahora, por ejemplo, el economista no puede teclear $75$ , pues el $75\%$ de $150$ no es un entero positivo, pero puede elegir $40$ y el juego continúa hasta que uno de ellos no pueda teclear un número permitido Propuesto por Serbia

G2 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Sean $l_B$ y $l_C$ dos rectas que pasan por los puntos $B$ y $C$ , respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$ . Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$ , respectivamente. Suponga que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$ . La recta $DA$ interseca a $l_C$ en $F$ y la recta $EA$ interseca a $l_B$ en $G$ . Si $O$ , $O_1$ y $O_2$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ , $ADG$ y $AEF$ , respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$ , demuestre que $l_B \parallel OP \parallel l_C$ . Propuesto por Stefan Lozanovski, Macedonia

N1 Halle todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

G4 El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$ . La mediatriz del lado $BC$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $HM$ y $AN$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ .

G5 Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$ . Las rectas $AP, BP$ y $CP$ intersecan nuevamente a las circunferencias circunscritas de los triángulos $PBC, PCA$ y $PAB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que $P$ es el ortocentro del triángulo $DEF$ si y solo si $P$ es el incentro del triángulo $ABC$ . Propuesto por Rumania

G3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Los puntos $D$ y $E$ están sobre los segmentos $CA$ y $BC$ respectivamente, tales que $CD = CE$ . Sea $F$ un punto del segmento $CD$ . Demuestre que el cuadrilátero $ABEF$ es circunscribible si y solo si el cuadrilátero $DIEF$ es cíclico. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A4 Sean $A_1,A_2,\ldots,A_{2017}$ los vértices de un polígono regular de $2017$ lados. Demuestre que existe un punto $P$ en el plano del polígono tal que el vector $$\sum_{k=1}^{2017}k\frac{\overrightarrow{PA}_k}{\left\lVert\overrightarrow{PA}_k\right\rVert^5}$$ es el vector nulo. (La notación $\left\lVert\overrightarrow{XY}\right\rVert$ representa la longitud del vector $\overrightarrow{XY}$ . )

B1 Maryam etiqueta cada vértice de un tetraedro con la suma de las longitudes de las tres aristas que concurren en ese vértice. Luego observa que las etiquetas en los cuatro vértices del tetraedro son todas iguales. Para cada vértice del tetraedro, demuestre que las longitudes de las tres aristas que concurren en ese vértice son las tres longitudes de los lados de un triángulo.

A2 Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ la sucesión de números reales definida por $a_1=1$ y $$a_m=\frac1{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{m-1}^2}\qquad\text{for }m\ge2.$$ Determine si existe un entero positivo $N$ tal que $$a_1+a_2+\ldots+a_N>2017^{2017}.$$