15 La diferencia de dos ángulos de un triángulo es mayor que $90^{\circ}$ . Demuestre que la razón entre su circunradio y su inradio es mayor que $4$ .

14 La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ , rectángulo en $C$ , toca la circunferencia circunscrita de su triángulo medial en el punto $F$ . Sea $OE$ la tangente a $\omega$ trazada desde el punto medio $O$ de la hipotenusa $AB$ , distinta de $AB$ . Demuestre que $CE = CF$ .

16 Sean $AA_1, BB_1, $ y $CC_1$ las bisectrices de un triángulo $ABC$ . Los segmentos $BB_1$ y $A_1C_1$ se encuentran en el punto $D$ . Sea $E$ la proyección de $D$ sobre $AC$ . Los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente son tales que $EP = PD, EQ = QD$ . Demuestre que $\angle PDB_1 = \angle EDQ$ .

22 Se da un segmento $AB$ . Sea $C$ un punto arbitrario de la mediatriz de $AB$ ; sea $O$ el punto de la circunferencia circunscrita de $ABC$ opuesto a $C$ ; y sea una elipse con centro en $O$ tangente a $AB, BC, CA$ . Halle el lugar geométrico de los puntos de tangencia de la elipse con la recta $BC$ .

21 Una cuerda $PQ$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ se encuentra con los lados $BC, AC$ en los puntos $A', B'$ respectivamente. Las tangentes a la circunferencia circunscrita en $A$ y $B$ se encuentran en un punto $X$ , y las tangentes en los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en el punto $Y$ . La recta $XY$ se encuentra con $AB$ en un punto $C'$ . Demuestre que las rectas $AA', BB'$ y $CC'$ concurren.

18 Sean $AA_1, BB_1, CC_1$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ ; $I_a$ su excentro correspondiente a $A$ ; $I_a'$ la reflexión de $I_a$ respecto a la recta $AA_1$ . Los puntos $I_b', I_c'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $A_1I_a', B_1I_b', C_1I_c'$ concurren.

24 Sea $SABC$ una pirámide con ángulos rectos en el vértice $S$ . Los puntos $A', B', C'$ se encuentran sobre las aristas $SA, SB, SC$ , respectivamente, de tal manera que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son semejantes. ¿Se sigue de esto que los planos $ABC$ y $A'B'C'$ son paralelos?

8.1 Se dan una circunferencia $\omega$ con centro en $O$ y un punto $P$ en su interior. Sea $X$ un punto arbitrario de $\omega$ ; la recta $XP$ y la circunferencia $XOP$ cortan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $X_1$ , $X_2$ , respectivamente. Demuestre que todas las rectas $X_1X_2$ son paralelas.

5 Sea \(\mathbb{Z}_{>0}\) el conjunto de todos los enteros positivos. Determina todos los subconjuntos \(\mathcal{S}\) de \(\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}\) para los cuales existe una función \(f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}\) tal que \[\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.\] Pitchayut Saengrungkongka, Tailandia

8.2 Sea $CM$ la mediana de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sea $P$ la proyección del ortocentro $H$ sobre la bisectriz del $\angle C$ . Demuestre que $MP$ biseca el segmento $CH$ .