11.5 $n_1<n_2<\ldots<n_k$ son todos los números enteros positivos $n$ que tienen la siguiente propiedad: en un cuadrado $n \times n$ se pueden marcar $50$ celdas de modo que en cualquier cuadrado $3 \times 3$ se marque un número impar de celdas. Halle $n_{k-2}$

11.6 Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$. $\omega_1$ es una circunferencia con diámetro $BC$, y $\omega_2$ es una circunferencia con diámetro $AD$. $AC$ corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ por segunda vez en $B_1$ y $D_1$. $BD$ corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ por segunda vez en $C_1$ y $A_1$. $AA_1$ corta a $DD_1$ en $X$, y $BB_1$ corta a $CC_1$ en $Y$. $\omega_1$ interseca a $\omega_2$ en $P$ y $Q$. $XY$ corta a $PQ$ en $N$. Demuestre que $XN=NY$.

3 Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los números naturales. Demuestre que existen dos subconjuntos no vacíos $A$ y $B$ de $\mathbb N$ tales que $A\cap B=\{1\};$ todo número de $\mathbb N$ puede expresarse como el producto de un número de $A$ y un número de $B$ ; cada número primo es divisor de algún número de $A$ y también de algún número de $B$ ; uno de los conjuntos $A$ y $B$ tiene la siguiente propiedad: si los números de este conjunto se escriben como $x_1<x_2<x_3<\cdots$ , entonces para cualquier entero positivo $M$ dado existe $k\in \mathbb N$ tal que $x_{k+1}-x_k\ge M$ . Cada conjunto tiene infinitos números compuestos.

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f\left(x^3+f(y)\right)=x^2f(x)+y,$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}.$ (Aquí $\mathbb{R}$ denota el conjunto de todos los números reales.)

11.4 Halle todas las ternas $(a,b,k)$, con $k \geq 2$, de enteros positivos tales que $(a^k+b)(b^k+a)$ sea una potencia de dos.

11.2 Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ con la propiedad $\angle ABC - \angle BAC=30^{\circ}$. La recta $CI$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $C_1$. Resultó que $C_1$ está sobre una recta tangente común de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $BCI$. Halle los ángulos del triángulo $ABC$.

11.8 Una sandía (una esfera) de radio $R$ está sobre una mesa. $n$ moscas vuelan sobre la mesa, cada una a distancia $\sqrt{2}R$ del centro de la sandía. En cierto momento ninguna mosca podía ver a ninguna de las otras moscas. (Las moscas no pueden verse entre sí si el segmento que las une interseca o toca la sandía). Halle el máximo valor posible de $n$

11.1 Un tablero cuadriculado $20 \times 20$ se corta en varios cuadrados de lado entero. El tamaño de un cuadrado es su lado. ¿Cuál es la cantidad máxima de tamaños diferentes que pueden tener estos cuadrados?

11.7 La recta $AL$ es una bisectriz del triángulo $ABC$ ($L \in BC$), y $\omega$ es su circunferencia circunscrita. Las cuerdas $X_1X_2$ e $Y_1Y_2$ pasan por $L$ de modo que los puntos $X_1,Y_1$ y $A$ están en el mismo semiplano con respecto a $BC$. Las rectas $X_1Y_2$ e $Y_1X_2$ intersecan el lado $BC$ en los puntos $Z_1$ y $Z_2$, respectivamente. Demuestre que $\angle BAZ_1=\angle CAZ_2$.

11.8 $10$ equipos participaron en un torneo de fútbol: cada dos equipos jugaron entre sí exactamente una vez. Al terminar el torneo resultó que todos los equipos obtuvieron cantidades diferentes de puntos, y algunos equipos ganaron más partidos que el ganador del torneo; llámense fuertes. ¿Cuál es el número máximo de equipos que podrían ser fuertes? (En el fútbol, el ganador de un partido obtiene tres puntos, el perdedor 0 puntos, y si el partido termina en empate ambos equipos obtienen 1 punto.)