$f,g :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$\forall x\not =y : |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|>1$

Sean $M$ y $N$ puntos sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ tales que $BM = CN$ ( $M$ está entre $B$ y $N$ ). Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $AN$ y $AM$ , respectivamente, de modo que $\angle PMC =\angle MAB$ y $\angle QNB = \angle NAC$ . Demuestre que $\angle QBC = \angle PCB$ .

3 Muestre que la ecuación \[x(x+1)(x+2)\dots (x+2020)-1=0\] tiene exactamente una solución positiva $x_0$ , y demuestre que esta solución $x_0$ satisface \[\frac{1}{2020!+10}<x_0<\frac{1}{2020!+6}.\]

1 Sea $k$ una circunferencia con centro $M$ y sea $B$ otro punto en el interior de $k$ . Determine aquellos puntos $V$ sobre $k$ para los cuales $\measuredangle BVM$ se vuelve máximo.

3 Halle todos los pares $ (p, q)$ de números primos tales que $ p$ divide a $ 5^q + 1$ y $ q$ divide a $ 5^p + 1$ .

$1$

$\pi$$\{1,\dots,n\}$$\{\pi (k)-k|k=1,\dots,n\}$$\{1,\dots,n\}$$\sigma (n)-\tau (n)$$\sigma (n)$$n$$\tau (n)$$n$

Sea $n$ un entero positivo. Hay una colección de tarjetas que cumple las siguientes propiedades: $\bullet$ C ada tarjeta tiene escrito un número de la forma $m!$ , donde $m$ es un entero positivo. $\bullet$ P ara todo entero positivo $t\le n!$ , es posible elegir una o más tarjetas de la colección de tal manera $\text{ }$ q ue la suma de los números de esas tarjetas sea $t$ . Determine, en función de $n$ , el menor número de tarjetas que puede tener esta colección.

$n>2$$A_1,\dots,A_n$$M_1,\dots,M_n$$A_1A_2,A_2A_3,\dots ,A_nA_1$$B_1,\dots,B_n$$M_2A_2M_1,M_3A_3M_2,\dots ,M_1A_1M_n$\[|B_1B_2|+|B_2B_3|+\dots+|B_nB_1| \leq |A_1A_2|+|A_2A_3|+\dots+|A_nA_1|\]$|XY|$$X$$Y$$X$$Y$$Z$$H_{XYZ}$$\hat{XYZ}$$X$$Z$$Y$$C_1,\dots ,C_n$${H_{A_nA_1A_2},H_{A_1A_2A_3},\dots,H_{A_{n-1}A_nA_1}}$\[|A_1A_2|+|A_2A_3|+\dots +|A_nA_1| \leq |C_1C_2|+|C_2C_3|+\dots+|C_nC_1|\]

1 Suponga que $a=3^{100}$ y $b=5454$ . ¿Cuántos $z$ s en $[1,3^{99})$ existen tales que para todo $c$ con $gcd(c,3)=1$ , las dos ecuaciones $x^z\equiv c$ y $x^b\equiv c$ (mod $a$ ) tengan el mismo número de soluciones? ( $\frac{100}{6}$ puntos)