12 Sean $p \ne q$ enteros positivos coprimos. Determina todas las sucesiones infinitas $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ de enteros positivos tales que se cumplen las siguientes condiciones para todo $n \ge 1$ : \begin{align*} \max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) &= p \\ \max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) &= q \end{align*}

. Halle $a$ si $\int_{0}^{a}[x]dx=2017$ . (Aquí $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Por ejemplo, $[12.6]=12$ y $[-3.75]=-4$ . ) P2. Resuelva la ecuación $f(2-x)=g(x+1)$ , donde $f(x)$ y $g(x)$ son funciones definidas en $\mathbb{R}$ que satisfacen, para todo real $x$ , $2f(x+1)-g(3-x)=2x^{2}+11x-4, f(3-x)+g(x+1)=x^{2}-5x+19$ . P3. El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia. Las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y se intersecan en el punto $O$ . Desde el punto $O$ , se traza la perpendicular $OP$ al lado $AB$ . La recta $OP$ interseca el lado $CD$ en el punto $Q$ . Halle $OQ$ si $AD=2$ , $AB=1$ y $\angle CDB=30^{\circ}$ . P4. Aibek marca un punto dentro de un hexágono regular y lo conecta mediante segmentos con cada vértice. Los seis triángulos resultantes se colorean alternadamente con dos colores: rojo y verde. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos rojos es igual a la suma de las áreas de los triángulos verdes. P5. Se dan dos polinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes enteros. Demuestre que existe un polinomio $R(x)$ con coeficientes enteros y grado a lo sumo $2$ tal que $R(8) \cdot R(12) \cdot R(2017)=P(8) \cdot P(12) \cdot P(2017) \cdot Q(2017) \cdot Q(12) \cdot Q(8)$ . P6. Papá Noel tiene $674$ manzanas, $674$ naranjas y $674$ mandarinas, que planea enviar como regalos de Año Nuevo a niños de dos ciudades diferentes. Decide distribuir las frutas en dos cajas de modo que cada caja contenga frutas de los tres tipos, y el producto de los números de manzanas, naranjas y mandarinas en cada caja sea el mismo. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

1 En una mesa redonda están sentados caballeros, que siempre dicen la verdad; bribones, que siempre mienten; y tramposos, que pueden mentir o decir la verdad a su discreción. Hay $2018$ personas en total. Cada persona hace dos afirmaciones: “Mi vecino de la izquierda es un bribón”. “Mi vecino de la derecha es un tramposo”. ¿Cuál es el menor número posible de tramposos que podrían estar sentados en la mesa?

2 Varios amigos se reunieron. Cada uno de ellos estrechó la mano de todos los demás, excepto Kairat, quien, estando de mal humor, estrechó la mano de algunos de ellos pero no de otros. En total se dieron $222$ apretones de mano. ¿Cuántos apretones de mano dio Kairat?

4 El rectángulo está cortado en $9$ cuadrados, como se muestra en la figura. El lado del cuadrado blanco pequeño es $1$ . Halle los lados del rectángulo grande. [asy] size(8cm); defaultpen(miterjoin+linewidth(1bp)); filldraw(shift(0,24)*scale(9)*unitsquare, orange); filldraw(shift(9,25)*scale(8)*unitsquare, red); filldraw(shift(17,18)*scale(15)*unitsquare, green); filldraw(shift(0,14)*scale(10)*unitsquare, yellow); filldraw(shift(10,18)*scale(7)*unitsquare, fuchsia); filldraw(shift(10,14)*scale(4)*unitsquare, lightblue); filldraw(scale(14)*unitsquare, blue); filldraw(shift(14,0)*scale(18)*unitsquare, deepgreen); label("$1$", (4.5,28.5)); label("$2$", (13,29)); label("$3$", (24.5,25.5)); label("$4$", (5,19)); label("$5$", (13.5,21.5)); label("$6$", (12,16)); label("$7$", (7,7)); label("$8$", (23,9)); [/asy]

7 En un torneo de voleibol, $2018$ equipos jugaron un todos contra todos (cada equipo jugó exactamente una vez contra cada otro equipo). Además, en cada partido, los dos equipos tenían igual número de puntos al comienzo de ese partido. ¿Cuántos puntos obtuvo el equipo ganador? (Una victoria da $1$ punto, una derrota da $0$ puntos y no hay empates.)

8 Una mona quiere determinar desde cuál piso más bajo de un edificio de $10$ - pisos debe dejarse caer un coco para que se rompa. Ella sabe que si un coco se deja caer desde el piso $4$ t h, no se rompe. ¿Cuál es el número mínimo de lanzamientos requerido para garantizar encontrar la respuesta, si tiene dos cocos (idénticos en resistencia)?

9 Un cuadrado de $9\times9$ se disecciona en cuadrados de $2\times2$ y piezas de “esquina” que constan de tres cuadrados unitarios (es decir, un cuadrado de $2\times2$ al que se le ha quitado un cuadrado unitario). ¿Cuál es el número máximo posible de cuadrados de $2\times2$ que pueden aparecer en tal disección?

10 Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ son iguales, y $\angle BCD=2\angle ACE$ . Halle $\angle ACE$ .

1 Después de regresar de la celebración del aniversario del conde, el Barón de Munchausen afirmó que había cortado siete pasteles (cada uno con forma de triángulo equilátero) en triángulos equiláteros más pequeños. Como había $91$ invitados, cortó cada pastel en $13$ triángulos equiláteros, y cada vez los cortó de una manera diferente, sin superposiciones. Muestre cómo pudo haberlo hecho.