1 (a) Demuestre que para todos los números reales $x, y, z$ , \[x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz).\] (b) Halle todos los pares $(a,b)$ de números reales que satisfacen $a^{3}+b^{3}+6ab=8$ .

3 ¿Cuál es el número máximo de fichas que se pueden colocar en las casillas de un tablero de ajedrez de modo que cada fila horizontal, cada columna vertical y cada diagonal contenga un número par de fichas?

4 En el triángulo $ABC$ , el ángulo $C$ es un ángulo recto. Sobre el lado $AC$ hay un punto $D$ , y sobre el segmento $BD$ hay un punto $K$ tal que $\angle ABC = \angle KAD = \angle AKD$ . Demuestre que $BK= 2DC$ .

2 Baba Yaga recolectó setas comestibles y matamoscas durante tres días. En el segundo día, recolectó el doble de matamoscas que en el primer día, y dos setas comestibles más que en el primer día. En el tercer día, recolectó dos matamoscas más que en el segundo día, y el doble de setas comestibles que en el segundo día. En total, Baba Yaga recolectó $100$ setas durante los tres días. ¿Cuál es el número mínimo posible de setas que pudo haber recolectado en el primer día?

2 Para $0<k\leq1$ , $n\in\mathbb{N}$ , sea $p_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-k$ . (a) Demuestre que para cada $n$ , $p_n(x)$ tiene una única raíz real positiva. (b) Si $a_n$ es la raíz positiva de $p_n(x)$ , demuestre que la sucesión $\{a_n\}$ es convergente. (c) Halle $\lim_{n\to\infty} a_n$ .

1 Un helado cuesta $2000$ tenge. Marat tiene $400^{5}-399^{2}\cdot(400^{3}+2\cdot400^{2}+3\cdot 400+4)$ tenge. ¿Tiene Marat suficiente dinero para comprar el helado?

3 Sea $L:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x,y\in\mathbb{Z}\}$ . (a) Demuestre que no existe un hexágono regular con todos sus vértices en $L$ . (b) Demuestre que para cualquier $\varepsilon>0$ , existe $n\in\mathbb{N}$ tal que un triángulo equilátero con dos de sus vértices en $(0,0)$ y $(2n,0)$ , respectivamente, tiene su tercer vértice dentro de un $\varepsilon$ - entorno de un punto de $L$ .

3 Marat tiene $500$ dólares en una cuenta bancaria. El banco permite solo dos tipos de operaciones: retirar $300$ dólares o depositar $198$ dólares. ¿Cuál es la cantidad máxima de dinero que Marat puede retirar de la cuenta si no tiene otro dinero?

4 Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $2k$ con entradas $1$ a $4k^2$ en algún orden, cada una exactamente una vez. (a) Demuestre que existe una fila o una columna con dos entradas cuya diferencia es al menos $2k^2$ . (b) Demuestre que existe una fila o una columna con dos entradas cuya diferencia es al menos $2k^2+k-1$ . (c) Para $k=2$ , halle una $A$ tal que la diferencia entre cualesquiera dos entradas de la misma fila o columna sea a lo sumo $9$ .

4 En el rombo $ABCD$ , la medida del ángulo $B$ es $40^\circ$ , $E$ es el punto medio de $BC$ , $F$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a $DE$ . Halle la medida del ángulo $DFC$ .