2 La esfera $ \omega $ pasa por el vértice $S$ de la pirámide $SABC$ e interseca las aristas $SA,SB,SC$ en $A_1,B_1,C_1$ distintos de $S$ . La esfera $ \Omega $ es la esfera circunscrita de la pirámide $SABC$ e interseca a $ \omega $ en una circunferencia, que se encuentra en un plano paralelo al plano $(ABC)$ . Los puntos $A_2,B_2,C_2$ son los puntos simétricos de $A_1,B_1,C_1$ con respecto a los puntos medios de las aristas $SA,SB,SC$ respectivamente. Demuestre que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $A_2$ , $B_2$ y $C_2$ se encuentran sobre una esfera.

4 En un país de $n$ ciudades, un tren expreso circula en ambos sentidos entre cualesquiera dos ciudades. Para cualquier tren, los precios del boleto son iguales en ambas direcciones, pero para rutas distintas estos precios son diferentes. Demuestre que el viajero puede elegir la ciudad de partida, salir de ella y continuar, sucesivamente, en $n-1$ trenes, de modo que cada tarifa sea menor que la tarifa anterior. (Un viajero puede entrar en la misma ciudad varias veces.)

1 Digamos que $a$ es bueno si el número de divisores primos de $a$ es igual a $2$ . ¿Existen $18$ números naturales buenos consecutivos?

2 Dada una función $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ con $f(x)^2\le f(y)$ para todo $x,y\in\mathbb{R} $ , $x>y$ , demuestre que $f(x)\in [0,1] $ para todo $x\in \mathbb{R}$ .

2 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ y sea $ \Omega $ una circunferencia que pasa por $A,B,C,D$ . Sea $ \omega $ la circunferencia que pasa por $C,D$ e interseca a $CA,CB$ en $A_1$ , $B_1$ respectivamente. $A_2$ y $B_2$ son los puntos simétricos de $A_1$ y $B_1$ respectivamente, con respecto a los puntos medios de $CA$ y $CB$ . Demuestre que los puntos $A,B,A_2,B_2$ son concíclicos. I. Bogdanov

3 Si los polinomios $f(x)$ y $g(x)$ están escritos en un pizarrón, entonces también podemos escribir los polinomios $f(x)\pm g(x)$ , $f(x)g(x)$ , $f(g(x))$ y $cf(x)$ , donde $c$ es una constante real arbitraria. Los polinomios $x^3-3x^2+5$ y $x^2-4x$ están escritos en el pizarrón. ¿Podemos escribir un polinomio no nulo de la forma $x^n-1$ después de un número finito de pasos?

2 El triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\Omega$ . Las rectas tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$ se intersecan en $P$ . Los puntos $D$ y $E$ están sobre $AB$ y $AC$ de modo que $PD$ y $PE$ son perpendiculares a $AB$ y $AC$ respectivamente. Demuestre que el ortocentro del triángulo $ADE$ es el punto medio de $BC$ .

3 Se escriben en el pizarrón $100$ números naturales distintos $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{100}$ . Luego, debajo de cada número $a_i$ , alguien escribió un número $b_i$ tal que $b_i$ es la suma de $a_i$ y el máximo común divisor de los otros $99$ números. ¿Cuál es el menor número posible de números naturales distintos que puede haber entre $b_1, b_2, b_3, \ldots, b_{100}$ ?

4 $N$ rectas se encuentran en un plano, sin que dos de ellas sean paralelas ni tres de ellas sean concurrentes. Demuestre que existe una línea poligonal sin autointersecciones $A_0A_1A_2A_3...A_N$ con $N$ partes, tal que sobre cada una de las $N$ rectas se encuentra exactamente uno de los $N$ segmentos de la línea.

1 $2n$ números reales con suma positiva están dispuestos en un círculo. Para cada uno de los números, podemos ver que hay dos conjuntos de $n$ números tales que este número está en un extremo. Demuestre que al menos uno de los números tiene suma positiva para ambos conjuntos.