5 Se sabe que todos los términos de la sucesión infinita \[a-b, a^{2}-b^{2}, a^{3}-b^{3}, \ldots\] son números naturales. Demuestre que $a$ y $b$ son enteros.

6 Un rectángulo de $5 \times n$ se puede dividir en figuras obtenidas al quitar una celda de esquina de un rectángulo de $2\times3$ . Demuestre que $n$ es par.

3 Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Demuestre que \[a+b+c+\frac{1}{abc}\geqslant4\sqrt{3}.\]

6 Se sabe que $a>0,b>0,c>0$ , $a+b+c=1$ . Demuestre que: $\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}{\ge}\frac{1}{3}$ . Pirkuliyev

2 Hay $n$ ciudades y varios aviones. Cada avión vuela solo entre dos ciudades, y entre dos ciudades cualesquiera hay a lo sumo un avión. Halle el número mínimo de aviones tal que, sin importar cómo estén dispuestos los vuelos, se pueda viajar de cualquier ciudad a cualquier otra con a lo sumo un transbordo.

4 Demuestre que para todo número natural $k$ existen infinitos números naturales $m$ tales que $m^{3}+1999$ es divisible por $3^{k}$ .

4 Halle todas las ternas de números naturales $ (x, y, z) $ que satisfacen la condición $ (x + 1) ^ {y + 1} + 1 = (x + 2) ^ {z + 1}. $

7 ¿Existe alguna función $ f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfaga las siguientes condiciones: $1) f(0) = 1$ $2) f(x+f(y)) = f(x+y) + 1$ , para todo $x,y \to\mathbb{R} $ $3)$ existen $x_0$ racional pero no entero, tal que $f(x_0)$ es entero

1 Dos estudiantes reemplazan por turnos el signo de multiplicación “ $\cdot$ ” por “ $+$ ” o por “ $-$ ” en la expresión $1\cdot3\cdot3^{2}\cdot3^{3}\cdots3^{1999}$ . El objetivo del segundo estudiante es obtener, al final, un número divisible por $11$ . ¿Puede el primer estudiante impedirlo?

2 Halle todos los dígitos distintos entre sí $a, b, c, d$ que satisfacen la ecuación $\overline{abccba}=\overline{cda}^{2}$ .