1 Se colocan en dos cajas bolas de $3$ colores: rojo, azul y blanco. Si se extraen $3$ bolas de la primera caja, entre ellas habrá con seguridad una azul. Si se extraen $4$ bolas de la segunda caja, entre ellas habrá con seguridad una roja. Si se extraen cualesquiera $5$ bolas (solo de la primera, solo de la segunda, o de ambas cajas a la vez), entonces entre ellas habrá con seguridad una bola blanca. Halle el mayor número total posible de bolas en las dos cajas.

2 Los rombos $ABDK$ y $CBEL$ están dispuestos de modo que $B$ se encuentra en el segmento $AC$ y $E$ se encuentra en el segmento $BD$ . El punto $M$ es el punto medio de $KL$ . Demuestre que $\angle DME=90^{\circ}$ .

3 Dados $10$ enteros positivos cuya suma es igual a $1000$ . El producto de sus factoriales es una potencia $10$ - ésima de un entero. Demuestre que todos estos números son iguales.

4 Dados un conjunto $P$ de $n>100$ puntos en el plano tal que no hay tres de ellos colineales, y un conjunto $S$ de $20n$ segmentos distintos, cada uno de los cuales une un par de puntos de $P$ . Demuestre que existe una recta que no pasa por ningún punto de $P$ e interseca al menos $200$ segmentos de $S$ .

6 Los enteros del $1$ al $320000$ se colocan en las casillas de un tablero de $8 \times 40000$ . Demuestre que es posible permutar las filas de la tabla de modo que los números de cada columna no queden ordenados de arriba hacia abajo en orden creciente.

7 Los números positivos $a_1, a_2, \ldots , a_{2024}$ se colocan en una circunferencia en el sentido de las agujas del reloj en este orden. Sea $A_i$ la media aritmética del número $a_i$ y de uno o varios de los que le siguen en el sentido de las agujas del reloj. Demuestre que el mayor de los números $A_1, A_2, \ldots , A_{2024}$ no es menor que la media aritmética de todos los números $a_1, a_2, \ldots , a_{2024}$ .

8 Hay dos circunferencias iguales de radio $1$ colocadas dentro del triángulo $ABC$ con lado $BC = 6$ . Las circunferencias son tangentes entre sí; una está inscrita en el ángulo $B$ y la otra está inscrita en el ángulo $C$ . (a) Demuestre que el baricentro $M$ del triángulo $ABC$ no se encuentra dentro de ninguna de las circunferencias dadas. (b) Demuestre que si $M$ se encuentra sobre una de las circunferencias, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $X$ un punto variable sobre $AC$ . La circunferencia inscrita de $\triangle ABX$ es tangente a $AX, BX$ en $K, P$ , respectivamente. La circunferencia inscrita de $\triangle BCX$ es tangente a $CX, BX$ en $L, Q$ , respectivamente. Halle el lugar geométrico de $KP \cap LQ$ .

5 Sean $a, b, c$ números reales y consideremos las tres rectas $y=ax+b, y=bx+c, y=cx+a$ . Dos de estas rectas se cortan en un punto con coordenada $x$ igual a $1$ . Demuestre que la tercera pasa por un punto con dos coordenadas enteras.

6 Dada una permutación de $1, 2, \ldots, 2023, 2024$ y dos enteros positivos $a, b$ , tales que para cualesquiera dos números adyacentes se cumple al menos una de las condiciones siguientes: 1) su suma es $a$ ; 2) el valor absoluto de su diferencia es $b$ . Halle todos los valores posibles de $b$ .