2 Una escalera-ladrillo con 3 escalones de ancho 2 está hecha de 12 cubos unitarios. Determina todos los enteros $ n$ para los cuales es posible construir un cubo de lado $ n$ usando tales ladrillos.

10.6 Igual que 9.6

G1 Sea $\omega$ un círculo con centro $O$ y sea $A$ un punto fuera de $\omega$. Las tangentes desde $A$ tocan a $\omega$ en los puntos $B$ y $C$. Sea $D$ el punto donde la recta $AO$ interseca al círculo tal que $O$ está entre $A$ y $D$. Denota por $X$ la proyección ortogonal de $B$ sobre $CD$, por $Y$ el punto medio del segmento $BX$ y por $Z$ el segundo punto de intersección de la recta $DY$ con $\omega$. Demuestra que $ZA$ y $ZC$ son perpendiculares entre sí.

10.5 En un triángulo $ABC$ , sea $BD$ su altura y sea $H$ su ortocentro. La mediatriz de $HD$ corta a $(BCD)$ en $P, Q$ . Demuestre que $\angle APB+\angle AQB=180^{o}$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las bisectrices de los ángulos $BAD$ y $BCD$ se intersecan en el punto $K$ tal que $K \in BD$ . Sea $M$ el punto medio de $BD$ . Una recta que pasa por el punto $C$ y es paralela a $AD$ interseca a $AM$ en el punto $P$ . Demuestre que el triángulo $\triangle DPC$ es isósceles.

. De las siguientes tres afirmaciones, dos son verdaderas y una es falsa: 1) $A+51$ es un cuadrado perfecto. 2) La última cifra de $A$ es $1$ . 3) $A-38$ es un cuadrado perfecto. Halle la suma de las cifras del número $A$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) 21 & (B) 21 & (C) 23 & (D) 24 & (E) 25 \end{tabular} Q27. Dos ciclistas parten simultáneamente desde los puntos $A$ y $B$ uno hacia el otro. Después de encontrarse, el primero llega a $B$ en $27$ minutos, y el segundo llega a $A$ en $12$ minutos. ¿Cuánto tiempo le tomó al primer ciclista recorrer de $A$ a $B$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $30$ min & (B) $35$ min & (C) $40$ min & (D) $45$ min & (E) $48$ min \end{tabular} Q28. Un padre y sus dos hijos salen a visitar a su abuela, que vive a $33$ km de la ciudad. El padre tiene una motocicleta con velocidad $25km/h$ , y con un pasajero su velocidad es $20km/h$ (no puede llevar dos pasajeros). Cada hijo camina a una velocidad de $5km/h$ . ¿Cuál es el tiempo mínimo para que los tres lleguen a la abuela? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $3.5$ & (C) $4.5$ & (D) $5$ & (E) $5.5$ \end{tabular} Q29. Se cumple la igualdad $\overline{xxx}-\overline{yy}=x(\overline{xx})^{2}$ , donde $x$ y $y$ son cifras. ¿Cuál es el valor de $x+y$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) 5 & (B) 11 & (C) 7 & (D) 13 & (E) 9 \end{tabular} Q30. Un estudiante aprobó $31$ exámenes durante $5$ años de estudio. Cada año aprobó más exámenes que en el año anterior. En el quinto año aprobó tres veces más exámenes que en el primer año. ¿Cuántos exámenes aprobó en el cuarto año? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) 7 & (B) 4 & (C) 5 & (D) 6 & (E) 8 \end{tabular}

C2 Una configuración de $4027$ puntos en el plano se llama colombiana si consta de $2013$ puntos rojos y $2014$ puntos azules, y no hay tres puntos de la configuración colineales. Al trazar algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una disposición de rectas es buena para una configuración colombiana si se satisfacen las siguientes dos condiciones: i) Ninguna recta pasa por un punto de la configuración. ii) Ninguna región contiene puntos de ambos colores. Halle el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración colombiana de $4027$ puntos exista una disposición buena de $k$ rectas. Propuesto por Ivan Guo, de Australia

10.4 Igual que 9.4

10.3 Se dan $50$ conjuntos distintos de enteros positivos, cada uno de tamaño $30$ , tales que cualesquiera $30$ de ellos tienen un elemento común. Demuestre que todos ellos tienen un elemento común.

9.10 Un cubo de $100 \times 100 \times 100$ se divide en un millón de cubos unitarios y en cada cubo pequeño hay una bombilla. Tres caras de $100 \times 100$ del cubo grande que tienen un vértice común están pintadas: una de rojo, una de azul y la otra de verde. Llame $\textit{column}$ (columna) a un conjunto de $100$ cubos que forman un bloque de $1 \times 1 \times 100$ . Cada una de las $30 000$ columnas tiene una celda extrema pintada, sobre la cual hay un interruptor. Al presionar un interruptor, los estados de todas las bombillas de esa columna cambian. Petya presionó varios interruptores, obteniendo una situación con exactamente $k$ lámparas encendidas. Demuestre que Vasya puede presionar varios interruptores para que todas las lámparas queden apagadas, usando no más de $\frac {k} {100}$ interruptores en la cara roja.