2 Sea $ n$ un entero positivo tal que $ n\geq 3$ . Sean $ a_1$ , $ a_2$ , ..., $ a_n$ y $ b_1$ , $ b_2$ , ..., $ b_n$ $ 2n$ números reales positivos que satisfacen las ecuaciones \[ a_1 + a_2 + ... + a_n = 1, \quad \text{and} \quad b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2 = 1.\] Demuestre la desigualdad \[a_1\left(b_1 + a_2\right) + a_2\left(b_2 + a_3\right) + ... + a_{n - 1}\left(b_{n - 1} + a_n\right) + a_n\left(b_n + a_1\right) < 1.\] darij

3 Un entero positivo se llama agradable si la suma de sus dígitos en el sistema de numeración de base $ 3$ es divisible por $ 3$ . Calcule la suma de los primeros $ 2005$ enteros positivos agradables. darij

3 Sean $b$ y $c$ dos enteros positivos cualesquiera. Defina una sucesión de enteros $a_n$ , para $n\geq 1$ , mediante $a_1=1$ , $a_2=1$ , $a_3=b$ y $a_{n+3}=ba_{n+2}a_{n+1}+ca_n$ . Halle todos los enteros positivos $r$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que el número $a_n$ es divisible por $r$ . darij

2 Sea n un entero positivo, y sean $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$ , $b_1$ , $b_2$ , ..., $b_n$ números reales positivos tales que $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$ y $b_1\geq a_1$ , $b_1b_2\geq a_1a_2$ , $b_1b_2b_3\geq a_1a_2a_3$ , ..., $b_1b_2...b_n\geq a_1a_2...a_n$ . Demuestre que $b_1+b_2+...+b_n\geq a_1+a_2+...+a_n$ . darij

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La recta $AO$ corta al lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Prolongue los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija en las respectivas prolongaciones puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ . Propuesto por Hojoo Lee, Corea

2 Sea $ABC$ un triángulo que satisface $BC < CA$ . Sea $P$ un punto arbitrario sobre el lado $AB$ (distinto de $A$ y $B$ ) , y sea la recta $CP$ que corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en un punto $S$ (distinto del punto $C$ ) . Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $ASP$ que corta a la recta $CA$ en un punto $R$ (distinto de $A$ ) , y sea la circunferencia circunscrita del triángulo $BPS$ que corta a la recta $CB$ en un punto $Q$ (distinto de $B$ ) . Demuestre que la excircunferencia del triángulo $APR$ en el lado $AP$ es idéntica a la excircunferencia del triángulo $PQB$ en el lado $PQ$ si y solo si el punto $S$ es el punto medio del arco $AB$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . darij

2 Para todo entero positivo $ n$ , demuestre que existe un polinomio $ P$ de grado $ n$ tal que todos los coeficientes de este polinomio $ P$ son enteros, y tal que los números $ P\left(0\right)$ , $ P\left(1\right)$ , $ P\left(2\right)$ , ..., $ P\left(n\right)$ son potencias de $ 2$ dos a dos distintas.

2 Si $a$ , $b$ , $c$ son reales positivos tales que $a+b+c=1$ , demuestre que \[\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right).\]

3 Sea ABC un triángulo y sean $r, r_a, r_b, r_c$ el inradio y los exradios opuestos a los vértices $A, B, C$ , respectivamente. Suponga que $a>r_a, b>r_b, c>r_c$ . Demuestre que (a) $\triangle ABC$ es acutángulo. (b) $a+b+c > r+r_a+r_b+r_c$ . [S]unn[Y]

1 Sea $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... una sucesión infinita de números reales que satisface la ecuación $a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ para todo $n\geq 0$ , donde $a_0$ y $a_1$ son dos reales positivos diferentes. ¿Puede esta sucesión $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... ser acotada? Propuesto por Mihai Bălună, Rumania darij