5 Muestre que el triángulo cuyos ángulos satisfacen la igualdad \[\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C} = 2\] es rectángulo

1 Determine todos los números reales $q$ para los cuales la ecuación $x^4 -40x^2 +q = 0$ tiene cuatro soluciones reales que forman una progresión aritmética

4 Desde los puntos medios de los lados de un triángulo acutángulo se trazan perpendiculares a los lados adyacentes. Las seis rectas resultantes delimitan un hexágono. Demuestre que su área es la mitad del área del triángulo original.

4 Dado un número real positivo $a_1$ , definimos recursivamente $a_{n+1} = 1+a_1 a_2 \cdots \cdot a_n.$ Además, sea $$b_n = \frac{1}{a_1 } + \frac{1}{a_2 } +\cdots + \frac{1}{a_n }.$$ Demuestre que $b_n < \frac{2}{a_1}$ para todos los enteros positivos $n$ y que esta es la menor cota posible.

3 Considere un tablero cuadrado $N\times N$ donde $N\geq 3$ es un entero impar. La oruga Carl se encuentra en el centro del cuadrado; todas las demás casillas contienen enteros positivos distintos. Un entero $n$ pesa $1\slash n$ kilogramos. Carl quiere salir del tablero, pero puede comer a lo sumo $2$ kilogramos. Determine si Carl puede encontrar siempre una salida cuando a) $N=2003.$ b) $N$ es un entero impar arbitrario.

5 (a) Sean dados $2n$ puntos distintos sobre una circunferencia, $n$ de los cuales son rojos y $n$ son azules. Demuestre que se pueden unir estos puntos por pares mediante $n$ segmentos de modo que no haya dos segmentos que se intersequen y que los extremos de cada segmento tengan colores distintos. (b) Muestre que el enunciado de (a) sigue siendo válido si los puntos están en una posición arbitraria en el plano de modo que no haya tres de ellos colineales.

4 Halle todas las soluciones no negativas $(x,y,z)$ del sistema $$\begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{z} = 7 \\ \sqrt{x+z}+\sqrt{y} = 7 \\ \sqrt{y+z}+\sqrt{x} = 5 \end{cases}$$

3 Suponga que un punto interior $O$ de un triángulo $ABC$ es tal que los ángulos $\angle BAO,\angle CBO, \angle ACO$ son todos mayores o iguales que $30^o$ . Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

6 Una sucesión ( $a_n$ ) satisface las siguientes condiciones: (i) Para cada $m \in N$ se cumple que $a_{2^m} = 1/m$ . (ii) Para cada natural $n \ge 2$ se cumple que $a_{2n-1}a_{2n} = a_n$ . (iii) Para todos los enteros $m,n$ con $2m > n \ge 1$ se cumple que $a_{2n}a_{2n+1} = a_{2^m+n}$ . Determine $a_{2000}$ . Puede suponer que tal sucesión existe.

1 Halle todos los números reales $a,b$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones \begin{align*} 2a^2 -2ab+b^2 &=a\\ 4a^2 -5ab +2b^2 & =b. \end{align*}