A1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestra que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$

A2 Sea $q$ un número racional positivo. Dos hormigas están inicialmente en el mismo punto $X$ del plano. En el minuto $n$-ésimo ($n = 1,2,\ldots$) cada una elige si caminar hacia el norte, este, sur u oeste, y luego recorre una distancia de $q^n$ metros. Después de un número entero de minutos, están en el mismo punto del plano (no necesariamente $X$), pero no han tomado exactamente la misma ruta dentro de ese tiempo. Determina todos los valores posibles de $q$. Propuesto por Jeremy King, Reino Unido

N1 Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales $1^{\phi (n)} + 2^{\phi (n)} +... + n^{\phi (n)}$ es coprimo con $n$.

6. En un planeta hay $M$ países y $N$ ciudades. Entre algunas de las ciudades hay carreteras de doble sentido. Se sabe que: (1) En cada país hay al menos tres ciudades; (2) Para cada país y cada ciudad del país, esta está conectada por carreteras con al menos la mitad de las demás ciudades del país; (3) Cada ciudad está conectada con exactamente una otra ciudad que no está en su país; (4) Hay a lo sumo dos carreteras entre ciudades de dos países distintos; (5) Si dos países contienen en total menos de $2M$ ciudades, entonces hay una carretera entre ellos. Demuestra que existe un ciclo de longitud al menos $M+\frac{N}{2}$.

C3 Un collar abierto puede contener rubíes, esmeraldas y zafiros. En cada paso podemos realizar cualquiera de las siguientes operaciones: Podemos reemplazar dos rubíes consecutivos por una esmeralda y un zafiro, donde la esmeralda está a la izquierda del zafiro. Podemos reemplazar tres esmeraldas consecutivas por un zafiro y un rubí, donde el zafiro está a la izquierda del rubí. Si encontramos dos zafiros consecutivos, podemos eliminarlos. Si encontramos consecutivamente y en este orden un rubí, una esmeralda y un zafiro, podemos eliminarlos. Además, también podemos invertir todas las operaciones anteriores. Por ejemplo, invirtiendo la 3. podemos poner dos zafiros consecutivos en cualquier posición que queramos. Inicialmente el collar tiene un zafiro (y ninguna otra piedra preciosa). Decide, con prueba, si existe una secuencia finita de pasos tal que al final de esta secuencia el collar contenga una esmeralda (y ninguna otra piedra preciosa). Observación: Un collar es abierto si sus piedras preciosas están en una línea de izquierda a derecha. No se nos permite mover una piedra preciosa de la posición más a la derecha a la más a la izquierda como podríamos hacer si el collar fuera cerrado. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre ThE-dArK-lOrD

G5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC<BC$ y sea $D$ un punto sobre la extensión de $BC$ hacia $C$. El círculo $c_1$, con centro $A$ y radio $AD$, interseca a las rectas $AC,AB$ y $CB$ en los puntos $E,F$ y $G$ respectivamente. El círculo circunscrito $c_2$ del triángulo $AFG$ interseca de nuevo a las rectas $FE,BC,GE$ y $DF$ en los puntos $J,H,H'$ y $J'$ respectivamente. El círculo circunscrito $c_3$ del triángulo $ADE$ interseca de nuevo a las rectas $FE,BC,GE$ y $DF$ en los puntos $I,K,K'$ e $I'$ respectivamente. Demuestra que los cuadriláteros $HIJK$ y $H'I'J'K'$ son cíclicos y que los centros de sus círculos circunscritos coinciden. por Evangelos Psychas, Grecia

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sean $D,E$ los excírculos de los triángulos $AMB,AMC$ respectivamente, hacia $M$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ interseca la línea $BC$ en los puntos $B$ y $F$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ACE$ interseca la línea $BC$ en los puntos $C$ y $G$. Demuestra que $BF=CG$. por Petru Braica, Rumania

G4 Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia $k$, donde $AB > CD$, y $AB$ no es paralelo a $CD$. El punto $M$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y la perpendicular desde $M$ a $AB$ corta al segmento $AB$ en un punto $E$. Si $EM$ biseca el ángulo $CED$, demuestra que $AB$ es diámetro de $k$. Propuesto por Emil Stoyanov, Bulgaria.

G3 Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$. Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ y sea $p$ su semiperímetro. Encuentra el valor máximo posible de $$ \min\left(\frac{PA}{p-a},\frac{PB}{p-b},\frac{PC}{p-c}\right) $$ considerando todas las posibles elecciones del triángulo $ABC$ y del punto $P$. por Elton Bojaxhiu, Albania

N5 Sean $x,y$ enteros positivos. Si para cada entero positivo $n$ se tiene que $$(ny)^2+1\mid x^{\varphi(n)}-1.$$ Demuestra que $x=1$ . (Silouanos Brazitikos, Grecia)