5 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=AC$ ) . Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\omega$ y $BC$ respectivamente tales que $AP=AQ$ . $AP$ y $BC$ se intersecan en $R$ . Demuestre que las tangentes desde $B$ y $C$ a la circunferencia inscrita de $\triangle AQR$ (distintas de $BC$ ) son concurrentes sobre $\omega$ . Propuesto por Ali Zamani, Hooman Fattahi

2 Mojtaba y Hooman están jugando un juego. Inicialmente Mojtaba dibuja $2018$ vectores con suma cero. Luego, en cada turno, comenzando por Mojtaba, el jugador toma un vector y lo coloca en el plano. Después del primer movimiento, los jugadores deben colocar su vector junto al vector anterior (el inicio del vector debe coincidir con el extremo del vector anterior). Al final, se formará un polígono cerrado. Si este polígono no se interseca a sí mismo, gana Mojtaba. De lo contrario, gana Hooman. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Propuesto por Mahyar Sefidgaran, Jafar Namdar

3 Sea $a_1,a_2,a_3,\cdots $ una sucesión infinita de enteros distintos. Demuestre que hay infinitos primos $p$ para los cuales se pueden encontrar enteros positivos distintos $i,j,k$ tales que $p\mid a_ia_ja_k-1$ . Propuesto por Mohsen Jamali

4 Ordenamos todos los números primos en orden ascendente: $p_1=2<p_2<p_3<\cdots$ . Suponga además que $n_1<n_2<\cdots$ es una sucesión de enteros positivos tal que para todo $i=1,2,3,\cdots$ la ecuación $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ tiene solución para $x$ . ¿Existe siempre un número $x$ que satisfaga todas las ecuaciones? Propuesto por Mahyar Sefidgaran , Yahya Motevasel

2 Encuentre el máximo valor posible de $k$ para el cual existen números reales distintos $x_1,x_2,\ldots ,x_k $ mayores que $1$ tales que para todos $1 \leq i, j \leq k$ , $$x_i^{\lfloor x_j \rfloor }= x_j^{\lfloor x_i\rfloor}.$$ Propuesto por Morteza Saghafian

1 Dos círculos $\omega_1(O)$ y $\omega_2$ se intersecan entre sí en $A,B$ ,y $O$ está sobre $\omega_2$ . Sea $S$ un punto sobre $AB$ tal que $OS\perp AB$ . La recta $OS$ interseca a $\omega_2$ en $P$ (distinto de $O$ ) . La bisectriz de $\hat{ASP}$ interseca a $\omega_1$ en $L$ ( $A$ y $L$ están del mismo lado de la recta $OP$ ) . Sea $K$ un punto sobre $\omega_2$ tal que $PS=PK$ ( $A$ y $K$ están del mismo lado de la recta $OP$ ) . Demuestre que $SL=KL$ . Propuesto por Ali Zamani

4 Decimos que los enteros positivos distintos $a_1,a_2,\ldots ,a_n $ son «buenos» si su suma es igual a la suma de todos los $\gcd $ por pares entre ellos. Demuestre que hay infinitos $n$ tales que existen $n$ números buenos. Propuesto por Morteza Saghafian

6 Considere el cuadrilátero $ABCD $ inscrito en el círculo $\omega $ . $P\equiv AC\cap BD$ . $E$ , $F$ están sobre los lados $AB$ , $CD$ respectivamente tales que $\hat {APE}=\hat {DPF} $ . Los círculos $\omega_1$ , $\omega_2$ son tangentes a $\omega$ en $X $ , $Y $ respectivamente y ambos son también tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle PEF $ en $P $ . Demuestre que: $$\frac {EX}{EY}=\frac {FX}{FY} $$ Propuesto por Ali Zamani

1 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos con $a+b+c+d=2$ . Demuestre la siguiente desigualdad: $$\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right).$$ Propuesto por Mohammad Jafari

2 En el país de Sugarland , hay $13$ estudiantes en el campamento de selección del equipo de la IMO. Se tomaron $6$ pruebas de selección y los resultados ya salieron. Suponga que ningún estudiante tiene la misma puntuación en la misma prueba.Para seleccionar el equipo de la IMO, el comité nacional de la Olimpiada de Matemáticas ha decidido elegir una permutación de estas $6$ pruebas y, comenzando por la primera prueba, la persona con la puntuación más alta entre los estudiantes restantes se convertirá en miembro del equipo.El comité está celebrando una sesión para elegir la permutación. ¿Es posible que los $13$ estudiantes tengan todos la oportunidad de ser miembros del equipo? Propuesto por Morteza Saghafian