5 En una competencia deportiva, hay equipos de dos países diferentes, con $5$ equipos en cada país. Cada equipo juega contra dos equipos de cada país, incluido aquel al que pertenece, un juego en casa y uno de visitante. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir los partidos en esta competencia?

2 Sea $ABC$ un triángulo y sean $D,E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, AC$ y $BC$ . Las medianas $AD$ y $BE$ son perpendiculares, $AD = 12$ y $BE = 9$ . ¿Cuál es el valor de $CF$ ?

6 Alexandre y Bernado están jugando el siguiente juego. Al principio, hay $n$ bolas en una bolsa. En el primer turno, Alexandre puede tomar una bola de la bolsa; en el segundo turno, Bernado puede tomar una o dos bolas de la bolsa, y así sucesivamente. Así, se turnan y en el $k$ -ésimo turno pueden tomar un número de bolas de $1$ a $k$ . Gana quien vacía la bolsa. Para cada valor de $n$ , determine quién tiene la estrategia ganadora.

2 Se dan $32$ monedas reales y $32$ monedas falsas de la misma apariencia. Todas las monedas falsas pesan igual y menos que las reales, que también pesan todas lo mismo. ¿Cómo determinar el tipo de al menos siete monedas en seis pesajes en una balanza con dos platillos?

6 Se da un hexágono inscrito $AB_1CA_1BC_1$ . La circunferencia $\omega$ está inscrita en ambos triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ y toca los segmentos $AB$ y $A_1B_1$ en los puntos $D$ y $D_1$ respectivamente. Demuestre que si $\angle ACD = \angle BCD_1$ , entonces $\angle A_1C_1D_1 = \angle B_1C_1D$ .

3 En el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ se eligió el punto $P$ . El punto $E$ es simétrico al punto $B$ respecto a la recta $AP$ . El segmento $PE$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ en el punto $D$ . $M$ es el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que $DE+AC>2BM$ .

5 $2 \ 000 \ 000$ puntos con coordenadas enteras están marcados en el eje numérico. Se consideran segmentos de longitudes $97$ , $100$ y $103$ con extremos en estos puntos. ¿Cuál es el mayor número de tales segmentos?

1 En las celdas del tablero de $2024\times 2024$ se colocan enteros de modo que en cualquier rectángulo de $2 \times 2023$ (vertical u horizontal) con una celda de esquina recortada que no sobrepase el tablero, la suma de los números sea divisible por $13$ . Demuestre que la suma de todos los números del tablero es divisible por $13$ .

2 Dada una sucesión $a_n$ : \[ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots \] (un '1', dos '2' y así sucesivamente) y otra sucesión $b_n$ tal que $a_{b_n}=b_{a_n}$ para todo entero positivo $n$ . Se sabe que $b_k=1$ para algún $k>100$ . Demuestre que $b_m=1$ para todo $m>k$ .

1 La tabla de $100 \times 100$ está llena con números del $1$ al $10 \ 000$ como se muestra en la figura. ¿Es posible reacomodar algunos números de modo que siga habiendo un número en cada celda, y que la suma de los números no cambie en todos los rectángulos de tres celdas?