1 Sea $S$ un conjunto finito, y sea $F$ una familia de subconjuntos de $S$ tal que a) Si $A\subseteq S$ , entonces $A\in F$ si y solo si $S\setminus A\notin F$ ; b) Si $A\subseteq B\subseteq S$ y $B\in F$ , entonces $A\in F$ . Determine si debe existir una función $f:S\to\mathbb{R}$ tal que para todo $A\subseteq S$ , $A\in F$ si y solo si \[\sum_{s\in A}f(s)<\sum_{s\in S\setminus A}f(s).\] Evan O'Dorney.

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que siempre que $a>b>c>d>0$ y $ad=bc$ , \[f(a+d)+f(b-c)=f(a-d)+f(b+c).\] Calvin Deng.

8 Fije dos enteros positivos $a,k\ge2$ , y sea $f\in\mathbb{Z}[x]$ un polinomio no constante. Suponga que para todos los enteros positivos suficientemente grandes $n$ , existe un número racional $x$ que satisface $f(x)=f(a^n)^k$ . Demuestre que existe un polinomio $g\in\mathbb{Q}[x]$ tal que $f(g(x))=f(x)^k$ para todo $x$ real. Victor Wang.

9 ¿Existen enteros positivos $m,n$ tales que existen al menos $2012$ enteros positivos $x$ tales que tanto $m-x^2$ como $n-x^2$ son cuadrados perfectos? David Yang.

5 Demuestre que existe una constante $c$ (independiente de $n$ ) tal que para cualquier grafo $G$ con $n>2$ vértices, podemos dividir $G$ en un bosque y a lo sumo $cf(n)$ ciclos disjuntos, donde a) $f(n)=n\ln{n}$ ; b) $f(n)=n$ . David Yang.

4 Demuestre que para cualquier pentágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5$ , existe un único par de puntos $\{P,Q\}$ (posiblemente con $P=Q$ ) tal que $\measuredangle{PA_i A_{i-1}} = \measuredangle{A_{i+1}A_iQ}$ para $1\le i\le 5$ , donde los índices se toman $\pmod5$ y los ángulos son dirigidos $\pmod\pi$ . Calvin Deng.

1 Demuestre que $n^3-n-3$ no es un cuadrado perfecto para ningún entero $n$ . Calvin Deng.

4 Considere la cuadrícula infinita de puntos de la retícula en $\mathbb{Z}^3$ . Little D y Big Z juegan un juego, donde Little D primero pierde un zapato en un punto no masticado de la cuadrícula. Luego, Big Z mastica un plano sin zapatos perpendicular a uno de los ejes coordenados. Continúan alternando turnos de esta manera, con el objetivo de Little D de perder un zapato en cada uno de $n$ puntos consecutivos de la retícula sobre una recta paralela a uno de los ejes coordenados. Determine todos los $n$ para los cuales Little D puede lograr su objetivo. David Yang.

2013.2.2 Sean \(A, B, C\) y \(D\) puntos sobre la circunferencia \(\Gamma\) tales que las rectas \(AB\) y \(CD\) se intersectan en el punto \(T\), donde \(A\) está entre \(B\) y \(T\), y \(D\) está entre \(C\) y \(T\). Sea la paralela a la recta \(AB\) que pasa por \(D\) la que intersecta a la circunferencia \(\Gamma\) nuevamente en el punto \(E\), y sea la recta \(ET\) la que intersecta a \(\Gamma\) nuevamente en el punto \(F\). Sea \(G\) la intersección de las rectas \(CF\) y \(AB\). Sea \(X\) el punto medio del segmento \(AB\), y sea \(Y\) el punto obtenido al reflejar \(T\) a través de \(G\). Demuestra que los puntos \(X, Y, C\) y \(D\) son concíclicos.

6 ¿Existen $1998$ enteros positivos distintos, tales que el producto de cualesquiera dos sea divisible por el cuadrado de su diferencia?