1–10 1. Sea $A$ un subconjunto no vacío de números reales y sea $f : A \to A$ una función tal que $f(f(x)) = x$ para todo $x \in A$ . Entonces $f(x)$ es $\textbf{A)}$ una biyección $\quad \textbf{B)}$ inyectiva pero no sobreyectiva $\textbf{C)}$ sobreyectiva pero no inyectiva $\quad \textbf{D)}$ ni inyectiva ni sobreyectiva. 2. Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función que satisface $f(x+y) = f(xy)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ y $f(3/4) = 3/4$ , entonces $f(9/16) =$ $\textbf{A)}\; 9/16 \quad \textbf{B)}\; 0 \quad \textbf{C)}\; 3/2 \quad \textbf{D)}\; 3/4.$ 3. El área encerrada entre las curvas $y = \sin^2 x$ y $y = \cos^2 x$ en el intervalo $0 \le x \le \pi/2$ es $\textbf{A)}\; 2 \quad \textbf{B)}\; 1/2 \quad \textbf{C)}\; 1 \quad \textbf{D)}\; 3/4.$ 4. El número de pares ordenados $(m, n)$ de enteros que satisfacen $\dfrac{m}{12} = \dfrac{12}{n}$ es $\textbf{A)}\; 15 \quad \textbf{B)}\; 30 \quad \textbf{C)}\; 12 \quad \textbf{D)}\; 10.$ 5. Suponga que $2 \log x + \log y = x - y$ . Entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esta ecuación en el punto $(1, 1)$ es $\textbf{A)}\; x + 2y = 3 \quad \textbf{B)}\; x - 2y = 3 \quad \textbf{C)}\; 2x + y = 3 \quad \textbf{D)}\; 2x - y = 3.$ 6. Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como $f(x) = \sin[x]$ , donde $[x]$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ . Entonces $\textbf{A)}\; f$ es una función $2\pi$ -periódica $\quad \textbf{B)}\; f$ es una función $\pi$ -periódica $\textbf{C)}\; f$ es una función 1-periódica $\quad \textbf{D)}\; f$ no es una función periódica. 7. ¿Para cuántos enteros $a$ con $1 \le a \le 100$ , $a^a$ es un cuadrado? $\textbf{A)}\; 50 \quad \textbf{B)}\; 51 \quad \textbf{C)}\; 55 \quad \textbf{D)}\; 56.$ 8. $\lim_{x \to 0} x \left[ \dfrac{1}{x} \right]$ $\textbf{A)}\; 0 \quad \textbf{B)}\; 1 \quad \textbf{C)}\; -1 \quad \textbf{D)}$ no existe. 9. Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $x^2 + 3x + 1$ , entonces $\left( \dfrac{\alpha}{\beta + 1} \right)^2 + \left( \dfrac{\beta}{\alpha + 1} \right)^2$ es igual a $\textbf{A)}\; 19 \quad \textbf{B)}\; 18 \quad \textbf{C)}\; 20 \quad \textbf{D)}\; 17.$ 10. La ecuación $z^3 + iz - 1 = 0$ tiene $\textbf{A)}$ ninguna raíz real $\quad \textbf{B)}$ exactamente una raíz real $\textbf{C)}$ tres raíces reales $\quad \textbf{D)}$ exactamente dos raíces reales.

. En un país hay $15$ ciudades. Algunos pares de ciudades están conectados por rutas aéreas pertenecientes a tres aerolíneas diferentes. Se sabe que incluso si una de las aerolíneas dejara de operar, todavía sería posible viajar de cualquier ciudad a cualquier otra (posiblemente con transbordos) usando solo las rutas de las dos aerolíneas restantes. ¿Cuál es el número mínimo posible de rutas aéreas en el país? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $19$ & (B) $20$ & (C) $21$ & (D) $22$ & (E) $25$ \end{tabular} P2. Hay $28$ estudiantes en una clase. Cada niña es amiga de $4$ niños, y cada niño es amigo de $3$ niñas. ¿Cuántos niños y cuántas niñas hay en la clase? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $16$ and $12$ & (B) $20$ and $8$ & (C) $15$ and $12$ & (D) $20$ and $16$ & (E) $26$ and $14$ \end{tabular} P3. Una tienda vende tres tipos de barras de chocolate: «Alyonka», «Pierre Markolini» y «Noka Vintages Collection». Erlan se pregunta: ¿de cuántas maneras puede comprar $9$ barras de chocolate? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $50$ & (B) $52$ & (C) $55$ & (D) $105$ & (E) $125$ \end{tabular} P4. La ecuación $x(x-1)(x-2)\cdots2\cdot1=y^{2}-12$ tiene una solución en números naturales. ¿Cuál de los siguientes pares es una solución? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $(5,7)$ & (B) $(4,6)$ & (C) $(3,5)$ & (D) $(2,4)$ & (E) $(6,8)$ \end{tabular} P5. Halle el resto de dividir $1532^{5}-1$ entre $9$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $1$ & (B) $2$ & (C) $3$ & (D) $4$ & (E) $5$ \end{tabular} P6. Un número de cinco cifras que es un cuadrado perfecto se escribe usando las cifras $0, 1, 2, 2, 2$ . Halle el número. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $22210$ & (B) $22201$ & (C) $22021$ & (D) $20221$ \end{tabular} P7. La parte entera de un número $x$ se denota por $[x]$ . Por ejemplo, si $x=2.17$ , entonces $[x]=2$ . Resuelva la desigualdad $[x+2.6]=-7$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $-9 \leqslant x<-8$ & (B) $-9.6 \leqslant x<-4.4$ & (C) $-9.6 \leqslant x<-8.6$ & (D) $-9.2 \leqslant x<-8.4$ \end{tabular} P8. El porcentaje de niñas en un club de matemáticas es menor que $50\%$ pero mayor que $40\%$ . ¿Cuál es el número más pequeño posible de estudiantes en el club? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $5$ & (B) $6$ & (C) $10$ & (D) $7$ \end{tabular} P9. Arman escribió $5$ enteros en la pizarra. Sumándolos por pares, obtuvo los siguientes $10$ números: $0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15$ . ¿Cuál es el número más grande que Arman escribió en la pizarra? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $12$ & (B) $10$ & (C) $15$ & (D) $13$ \end{tabular} P10. Para determinar si el número $1601$ es primo, se probó sucesivamente su divisibilidad por $2, 3, 5,$ , y así sucesivamente. ¿En qué número primo se puede detener la prueba? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $31$ & (B) $37$ & (C) $41$ & (D) $43$ \end{tabular} P11. Una fuente en la plaza de la ciudad está conectada al reloj de la torre. Funciona siempre que al menos una de las manecillas del reloj esté entre los números $3$ y $4$ , o entre los números $8$ y $9$ . ¿Durante cuánto tiempo en un período de $24$ horas funciona la fuente? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $4h20min$ & (B) $6h20min$ & (C) $7h20min$ & (D) $5h30min$ \end{tabular} P12. Azhar, Asel, Lena y Kamila tocan cada una un instrumento musical (piano, violonchelo, guitarra, violín), y cada una sabe exactamente un idioma extranjero (inglés, francés, alemán o chino). Se sabe que la niña que toca la guitarra habla chino. Asel no toca el violín ni el violonchelo y no sabe inglés. Azhar no toca el violín ni el violonchelo y no sabe alemán ni inglés. La niña que habla alemán no toca el violonchelo. Lena sabe francés pero no toca el violín. ¿Qué instrumento toca Kamila y qué idioma sabe? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) Violin and English & (B) Violin and French & (C) Guitar and English & (D) Piano and Chinese \end{tabular} P13. ¿Cuál de los gráficos enumerados a continuación corresponde al poliedro que se muestra en la figura? [asy] size(6cm); pair[] V={(0,0), (6,0), (2,-1), (2,4), (4,-3), (3,1)}; fill(V[1]--V[2]--V[3]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[4]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[3]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); fill(V[1]--V[2]--V[4]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); draw(V[5]--V[0], dashed); draw(V[5]--V[1], dashed); draw(V[5]--V[3], dashed); draw(V[5]--V[4], dashed); draw(V[0]--V[2]); draw(V[0]--V[3]); draw(V[0]--V[4]); draw(V[1]--V[2]); draw(V[1]--V[3]); draw(V[1]--V[4]); draw(V[2]--V[3]); draw(V[2]--V[4]); [/asy] $\begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i));} label("(A)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); pair P=(0,-1/4); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i)); draw(P--point(p,i));} label("(B)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(-sin(radians(30))+tan(radians(20))*sin(radians(60)))*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(q,i-1)--point(p,i)--point(q,i+1));} label("(C)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(1/2)*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(p,i)--point(q,i));} label("(D)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage}$ P14. Distribuya ocho cabras jóvenes y nueve gansos en cinco graneros de modo que cada granero contenga cabras y gansos, y el número total de patas en cada granero sea $10$ . \begin{tabular}{c} (A) In two barns: $1$ goat and $3$ geese each; in three barns: $2$ goats and $1$ goose each; \\ (B) In two barns: $2$ goats and $2$ geese each; in three barns: $1$ goat and $2$ geese each; \\ (C) In two barns: $1$ goat and $4$ geese each; in three barns: $2$ goats and $1$ goose each; \\ (D) In two barns: $2$ goats and $1$ goose each; in three barns: $1$ goat and $2$ geese each; \end{tabular} P15. Un viajero visitó una aldea donde cada habitante o siempre dice la verdad o siempre miente. Todos los aldeanos se pusieron en círculo, y cada uno dijo sobre su vecino de la derecha si ese vecino decía la verdad. Con base en estas afirmaciones, el viajero pudo determinar de manera única qué fracción de los aldeanos son mentirosos. ¿Qué fracción es? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $60\%$ & (B) $55\%$ & (C) $50\%$ & (D) $45\%$ \end{tabular} P16. Un cuadrado se divide mediante rectas en $25$ cuadrados pequeños iguales (una cuadrícula de $5\times5$ ). En algunos de los cuadrados pequeños se traza una diagonal de modo que no haya dos diagonales trazadas que compartan un punto común (ni siquiera un extremo). ¿Cuál es el número máximo posible de diagonales trazadas? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $16$ & (B) $17$ & (C) $18$ & (D) $15$ \end{tabular} P17. Para cada número de tres cifras, tome el producto de sus cifras. Luego sume todos estos productos sobre todos los números de tres cifras. ¿Cuál es la suma resultante? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $91125$ & (B) $90125$ & (C) $2025$ & (D) $18225$ \end{tabular} P18. En una tira de $1 \times N$ , las primeras $25$ casillas contienen $25$ fichas. Una ficha puede moverse una casilla a la derecha hacia una casilla vacía, o saltar sobre una ficha adyacente a la derecha hacia la casilla siguiente (si esa casilla está vacía). No se permite moverse hacia la izquierda. ¿Para cuál $N$ más pequeño es posible reordenar las fichas, sin huecos, en el orden inverso? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $45$ & (B) $50$ & (C) $51$ & (D) $49$ \end{tabular} P19. El número $7$ se eleva a la $19$° potencia. El número resultante se eleva nuevamente a la $19$° potencia, y así sucesivamente. Este proceso se repite $2020$ veces. Determine la última cifra del número final. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $7$ & (B) $9$ & (C) $3$ & (D) $1$ \end{tabular} P20. Un rectángulo está compuesto por seis cuadrados, como se muestra en la figura. Halle la longitud del lado del cuadrado más grande si la longitud del lado del cuadrado más pequeño es $1$ . [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); draw(scale(4)*unitsquare); draw(shift(4,0)*scale(4)*unitsquare); draw(shift(8,0)*scale(5)*unitsquare); draw(shift(0,4)*scale(7)*unitsquare); draw(shift(7,4)*unitsquare); draw(shift(7,5)*scale(6)*unitsquare); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $5$ & (B) $6$ & (C) $8$ & (D) $7$ \end{tabular} P21. Una solución de $100g$ contiene $1\%$ de sal. Después de la evaporación, la solución queda con $2\%$ de sal. ¿Cuál es la masa de la solución resultante? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $45g$ & (B) $50g$ & (C) $60g$ & (D) $55g$ \end{tabular} P22. En $\triangle KNM: \angle N=90^{\circ}, \angle M=35^{\circ}, \angle PKS=10^{\circ}, \angle SNP=20^{\circ}$ . Halle $\angle PSM$ . [asy] import geometry; size(6cm); pair N=(0,0), M=(1,0), K=intersectionpoint(line(M,rotate(-35,M)*N),line(N,(0,1))), S=intersectionpoint(line(N,rotate(20,N)*M),line(K,M)), P=intersectionpoint(line(K,rotate(-10,K)*S),line(N,M)), I=incenter(K, N, M); draw(K--N--M--cycle); draw(K--P); draw(N--S); draw(P--S); dot("$K$", K, dir(I--K)); dot("$N$", N, dir(I--N)); dot("$M$", M, dir(I--M)); dot("$P$", P, dir(K--P)); dot("$S$", S, dir(N--S)); markrightangle(M, N, K); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $40^{\circ}$ & (B) $45^{\circ}$ & (C) $60^{\circ}$ & (D) $55^{\circ}$ \end{tabular} P23. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la ecuación $|y| \cdot y=\frac{|x|}{x}$ ? $\begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((-14,5)--(0,5)); draw((-14,-5)--(0,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(A)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((-14,5)--(0,5)); draw((0,-5)--(14,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(B)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((0,5)--(14,5)); draw((0,-5)--(14,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(C)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((0,5)--(14,5)); draw((-14,-5)--(0,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(D)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage}$ P24. Un archipiélago consta de varias islas pequeñas y una isla grande. Se decidió construir puentes de modo que la isla grande esté conectada con cada isla pequeña por dos puentes, y cada par de islas pequeñas esté conectado por exactamente un puente. Para el 1 de noviembre se habían construido todos los puentes entre las islas pequeñas y varios (al menos uno) puentes hacia la isla grande — un total de $28$ puentes. ¿Cuántas islas hay en el archipiélago? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $9$ & (B) $5$ & (C) $7$ & (D) $8$ \end{tabular} P25. Halle el mayor número de fichas de dominó blancas que pueden cortarse del tablero que se muestra en la figura. Una ficha de dominó es un rectángulo de $1\times2$ . [asy] unitsize(0.5cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<7; ++i){ for(int j=0; j<7; ++j){ if(i%2==1 && j%2==1){ filldraw(shift(i,j)*unitsquare, black);} else{ draw(shift(i,j)*unitsquare);}}} [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $14$ & (B) $15$ & (C) $16$ & (D) $18$ \end{tabular} P26. ¿Cuál es el ángulo entre las manecillas horaria y minutera de un reloj a las $9{:}10$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $140^{\circ}$ & (B) $145^{\circ}$ & (C) $150^{\circ}$ & (D) $155^{\circ}$ \end{tabular} P27. $11$ números se escriben en fila de modo que la suma de cualesquiera tres números consecutivos sea $18$ . La suma de los once números es $64$ . Halle el número del medio. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $24$ & (B) $12$ & (C) $16$ & (D) $8$ \end{tabular} P28. Durante una clase de educación física, todos los estudiantes se alinearon por estatura (todas las estaturas son distintas). Damir notó que el número de estudiantes más altos que él es cuatro veces el número de estudiantes más bajos que él. Erlan notó que el número de estudiantes más altos que él es tres veces menor que el número de estudiantes más bajos que él. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase, si no hay más de $30$ estudiantes? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $24$ & (B) $20$ & (C) $21$ & (D) $27$ \end{tabular} P29. Una cara de un dado tiene un punto, otra tiene dos, una tercera tiene tres, y así sucesivamente. Cuatro dados idénticos se disponen como se muestra en la figura. ¿Cuál es el número total de puntos en las seis caras donde los dados se tocan entre sí? [asy] import graph3; size(6cm); currentprojection=perspective(8,7,4); path3[] dots={circle((2,8,0),1), circle((5,8,0),1), circle((8,8,0),1), circle((2,5,0),1), circle((5,5,0),1), circle((8,5,0),1), circle((2,2,0),1), circle((5,2,0),1), circle((8,2,0),1)}; dots=scale(0.1,0.1,1)*dots; path3[] face(int i){ if(i==1){ return new path3[] {dots[4]};} if(i==2){ return new path3[] {dots[0], dots[8]};} if(i==3){ return new path3[] {dots[0], dots[4], dots[8]};} if(i==4){ return new path3[] {dots[0], dots[2], dots[6], dots[8]};} if(i==5){ return new path3[] {dots[0], dots[2], dots[4], dots[6], dots[8]};} if(i==6){ return new path3[] {dots[0], dots[2], dots[3], dots[5], dots[6], dots[8]};} return new path3[] {};} void cube(triple P, int f, int t, int r=0, bool mirror=false){ draw(surface(shift(P)*((1,0,0)--(1,1,0)--(1,1,1)--(1,0,1)--cycle)), white, black); draw(surface(shift(P)*((0,0,1)--(1,0,1)--(1,1,1)--(0,1,1)--cycle)), white, black); draw(surface(shift(P)*((1,1,0)--(0,1,0)--(0,1,1)--(1,1,1)--cycle)), white, black); for(path3 p : face(f)){ draw(surface(shift(P)*rotate(90,(1,0,0),(1,1,0))*p), black);} for(path3 p : face(t)){ draw(surface(shift(P)*shift(0,0,1)*(mirror?shift(0,1,0)*scale(1,-1,1):shift(0,0,0))*p), black);} for(path3 p : face(r)){ draw(surface(shift(P)*rotate(90,(1,1,0),(0,1,0))*p), black);}} cube((0,0,0), 1, 2, true); cube((0,1,0), 2, 3, true); cube((0,2,0), 3, 4); cube((0,3,0), 3, 1, 6); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $40$ & (B) $20$ & (C) $24$ & (D) $36$ \end{tabular} P30. Denis eligió cuatro números naturales distintos. Afirma que el producto del número más pequeño y el más grande es $32$ , y el producto de los otros dos números es $14$ . ¿Cuál es la suma de los cuatro números? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $42$ & (B) $40$ & (C) $35$ & (D) $45$ \end{tabular}

. Un libro tiene $296$ páginas. Arman decidió contar cuántas cifras se usaron para numerar todas las páginas y cuántas veces se usó la cifra $8$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $790$ and $79$ & (B) $720$ and $80$ & (C) $800$ and $60$ & (D) $780$ and $59$ \end{tabular} P2. Tres amigas usaron vestidos blanco, azul y verde, con zapatos de los mismos colores respectivos. Solo el vestido y los zapatos de Aliya coincidían en color. El vestido y los zapatos de Kamila no eran blancos. Zhana llevaba zapatos verdes. Determine el color del vestido de Zhana. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) Blue & (B) White & (C) Green & (D) Cannot be determined \end{tabular} P3. Sobre la fecha de la Batalla de Grunwald se sabe lo siguiente: el número de centurias del año es el doble del número ordinal del mes en que ocurrió y también es una unidad menor que el número de ese mes. El día en que ocurrió la batalla es cinco unidades mayor que el número de años transcurridos desde el comienzo de la centuria. Además, un tercio del día equivale a la mitad del número de años transcurridos desde el comienzo de la centuria. ¿En qué año ocurrió la Batalla de Grunwald? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $15.06.1412$ & (B) $20.07.1510$ & (C) $15.07.1410$ & (D) $22.08.1420$ \end{tabular} P4. ¿Cuántos números naturales que no superan $375$ son primos relativos a $375$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $190$ & (B) $200$ & (C) $210$ & (D) $220$ \end{tabular} P5. Los organizadores de una olimpiada municipal de matemáticas para estudiantes de $7-8$° grado introdujeron un coeficiente de originalidad definido como el número de cifras de codificación en el número de inscripción de un participante. Para determinar a cuántos participantes invitar, necesitan calcular el número de todos los números de tres cifras posibles que pueden formarse con las cifras $1, 2, 3, 4, 5$ de modo que cada cifra se use a lo sumo una vez. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $120$ & (B) $60$ & (C) $100$ & (D) $80$ \end{tabular} P6. Timur, Dias y Sergey se preparaban para una olimpiada de matemáticas. Timur propuso el siguiente problema: «La suma de las edades de nuestros padres es $111$ . Mi padre es mayor que vuestros padres: es $1$ año mayor que el padre de Dias y $2$ años mayor que el padre de Sergey.» ¿Cuántos años tiene el padre de Timur? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $35$ & (B) $36$ & (C) $37$ & (D) $38$ \end{tabular} P7. Calcule el valor de la expresión $\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{7}}}}$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $\frac{1}{6}$ & (B) $\frac{1}{7}$ & (C) $6$ & (D) $7$ \end{tabular} P8. $p$ y $q$ son números primos distintos. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número $p^{2} \cdot q$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $2$ & (B) $6$ & (C) $5$ & (D) $4$ \end{tabular} P9. Cierto número de dos cifras es divisible por $3$ . Si se inserta un $0$ entre sus cifras y luego se le suma el doble de la cifra de las centenas del número de tres cifras resultante, el resultado es $9$ veces el número original. Halle el número original. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $69$ & (B) $60$ & (C) $63$ & (D) $72$ \end{tabular} P10. Cuando la tercera parte de un número natural se divide entre la decimoséptima parte de ese número, el resto es $100$ . Halle el número. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $2520$ & (B) $2550$ & (C) $2050$ & (D) $2505$ \end{tabular} P11. Sobre un número natural $X$ se dan cinco afirmaciones: 1) $X$ es un número de dos cifras; 2) $X$ es divisible por $5$ ; 3) $X\leqslant14$ ; 4) $X$ es un cuadrado perfecto; 5) $X$ es impar. Se sabe que cuatro de estas afirmaciones son verdaderas y una es falsa. Halle $X$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $20$ & (B) $21$ & (C) $25$ & (D) $12$ \end{tabular} P12. ¿Cuál de los gráficos enumerados a continuación corresponde al poliedro que se muestra en la figura? [asy] size(6cm); pair[] V={(0,0), (6,0), (2,-1), (2,2), (4,-3)}; fill(V[1]--V[2]--V[3]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[4]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[3]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); fill(V[1]--V[2]--V[4]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); draw(V[0]--V[1], dashed); draw(V[0]--V[2]); draw(V[0]--V[3]); draw(V[0]--V[4]); draw(V[1]--V[2]); draw(V[1]--V[3]); draw(V[1]--V[4]); draw(V[2]--V[3]); draw(V[2]--V[4]); [/asy] $\begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i));} label("(A)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); pair P=(0,-1/4); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i)); draw(P--point(p,i));} label("(B)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(-sin(radians(30))+tan(radians(20))*sin(radians(60)))*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(q,i-1)--point(p,i)--point(q,i+1));} label("(C)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(1/2)*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(p,i)--point(q,i));} label("(D)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage}$ P13. Después de recorrer la mitad de la distancia total, un pasajero se quedó dormido y durmió hasta que la distancia restante fue igual a la mitad de la distancia que había dormido. ¿Qué fracción del viaje completo recorrió el pasajero despierto? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $\frac{3}{5}$ & (B) $\frac{3}{4}$ & (C) $\frac{2}{3}$ & (D) $\frac{1}{3}$ \end{tabular} P14. Halle el número natural más pequeño $n$ tal que $n!$ sea divisible por $13$ , $14$ , $15$ y $16$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $16$ & (B) $15$ & (C) $13$ & (D) $14$ \end{tabular} P15. Por un camino que va del bosque a la aldea, Caperucita Roja y el Lobo se apresuran uno hacia el otro, mientras que desde la dirección opuesta se acercan la Abuela y el Cazador. La velocidad de aproximación del Lobo y la Abuela es $18km/h$ , la de Caperucita Roja y la Abuela es $8km/h$ , y la del Cazador y Caperucita Roja es $12km/h$ . ¿A qué velocidad se aproximan el Lobo y el Cazador? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $26km/h$ & (B) $22km/h$ & (C) $18km/h$ & (D) $16km/h$ \end{tabular} P16. Halle el valor de la expresión $(x-7)^{(x-8)^{(x-9)^{(x+9)^{(x+8)}}}}$ cuando $x=10$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $27$ & (B) $9$ & (C) $81$ & (D) $3$ \end{tabular} P17. Un paralelepípedo rectangular con aristas de $4cm$ , $6cm$ y $9cm$ está construido con cubos de $1cm$ . Daulet y Aliya decidieron construir una torre usando todos los cubos de la capa exterior del paralelepípedo. ¿Cuál es la altura de la torre resultante? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $228cm$ & (B) $168cm$ & (C) $160cm$ & (D) $108cm$ \end{tabular} P18. Cada alienígena tiene $4$ brazos. Diez alienígenas se pusieron en fila y cada uno tomó las manos de sus vecinos. ¿Cuántos brazos quedaron libres? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $20$ & (B) $22$ & (C) $32$ & (D) $30$ \end{tabular} P19. ¿Cuántas veces aumenta un número de tres cifras si se le añade el mismo número a su derecha? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $10$ & (B) $101$ & (C) $1000$ & (D) $1001$ \end{tabular} P20. ¿Cuántos cubos apilados uno sobre otro forman la torre que se muestra en la figura? [asy] size(8cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<5; ++i){ for(int j=0; j<2; ++j){ draw(shift(i,j)*unitsquare);}} draw(shift(1,2)*unitsquare); draw(shift(3,2)*unitsquare); for(int i=0; i<3; ++i){ for(int j=0; j<2; ++j){ draw(shift(i+7,j)*unitsquare);}} draw(shift(8,2)*unitsquare); label("Front view", (0,0)--(5,0)); label("Side view", (7,0)--(10,0)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $26$ & (B) $14$ & (C) $32$ & (D) $36$ \end{tabular} P21. Las habitaciones interiores del Sultán consisten en $100$ habitaciones cuadradas idénticas dispuestas en un cuadrado de $10\times10$ . Si dos habitaciones comparten una pared, hay exactamente una puerta en esa pared. ¿Cuántas puertas hay en el palacio? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $150$ & (B) $120$ & (C) $200$ & (D) $180$ \end{tabular} P22. En las caras de un cubo están escritas letras, como se muestra en la Figura 1. Neznaika lanzó el cubo y este cayó como se muestra en la Figura 2. ¿Qué letras están en las caras en blanco del cubo? [asy] import graph3; size(6cm); currentprojection=perspective(8,4,4); triple[] V={(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1)}; void face(path3 p, real angle=0, string s="", transform3 align=rotate(0,X)*rotate(0,Y)*rotate(0,Z), bool mirror=false) { draw(rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*p); label((mirror?shift(0,1,0)*scale(1,-1,1):shift(0,0,0))*rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*align*s, rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*((point(p,0)+point(p,1)+point(p,2)+point(p,3))/4), fontsize(32));} face(V[1]--V[5]--V[4]--V[0]--cycle, 45, "$V$", rotate(90,Y)*rotate(90,X)*rotate(90,Z)); face(V[1]--V[5]--V[6]--V[2]--cycle, "$I$", rotate(90,Y)*rotate(90,Z)); face(V[4]--V[5]--V[6]--V[7]--cycle, "$C$", rotate(90,X)*rotate(90,Z)*rotate(90,Y)); face(V[2]--V[3]--V[7]--V[6]--cycle, "$T$", rotate(90,Z)*rotate(90,X)*rotate(90,Y)); face(V[4]--V[7]--V[3]--V[0]--cycle, 100, "$O$", rotate(180,X)*rotate(90,Y)*rotate(90,Z), mirror=true); face(V[1]--V[2]--V[3]--V[0]--cycle, 180, "$R$", rotate(270,X)*rotate(90,Z)*rotate(90,Y)*rotate(180,X), mirror=true); draw(shift(0,2,0)*(V[4]--V[5]--V[6]--V[7]--cycle)); face(shift(0,2,0)*(V[1]--V[5]--V[6]--V[2]--cycle), "$R$", rotate(90,Y)*rotate(90,Z)); draw(shift(0,2,0)*(V[2]--V[3]--V[7]--V[6]--cycle)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) Top: $I$, Right: $B$ & (B) Top: $K$, Right: $T$ & (C) Top: $O$, Right: $B$ & (D) Top: $I$, Right: $T$ \end{tabular} P23. Halle dos números cuya diferencia y cuyo cociente sean ambos iguales a $11$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $12.1$ and $1.1$ & (B) $11.1$ and $0.1$ & (C) $13.1$ and $2.1$ & (D) $11.1$ and $1.1$ \end{tabular} P24. En $\triangle ABC$ , $\angle A=60^{\circ}$ . Halle el ángulo entre las bisectrices interiores de los ángulos $B$ y $C$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $100^{\circ}$ & (B) $110^{\circ}$ & (C) $120^{\circ}$ & (D) $140^{\circ}$ \end{tabular} P25. En una clase, dos estudiantes se sientan en cada pupitre. El número de pupitres con dos niños es el doble del número de pupitres con dos niñas. El número de pupitres con dos niñas es el doble del número de pupitres con un niño y una niña. ¿Cuántos niños hay en la clase si hay $10$ niñas? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $14$ & (B) $15$ & (C) $16$ & (D) $18$ \end{tabular} P26. En la pizarra está escrito un número natural. Yerbulat notó que hay dos maneras de añadir una cifra a su derecha para que el número resultante sea divisible por $9$ . ¿De cuántas maneras puede añadir una cifra a la derecha para que el número resultante sea divisible por $3$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $4$ & (B) $5$ & (C) $3$ & (D) $2$ \end{tabular} P27. Zhanel pensó en un número de dos cifras. Luego añadió la cifra $1$ a su izquierda y la cifra $8$ a su derecha, y el número se hizo $28$ veces mayor. ¿Qué número pudo haber elegido Zhanel? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $45$ & (B) $56$ & (C) $28$ & (D) $36$ \end{tabular} P28. Un reloj marca $1$ hora $25$ minutos. ¿Cuál es el ángulo entre las manecillas horaria y minutera? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $105.5^{\circ}$ & (B) $107.5^{\circ}$ & (C) $110.5^{\circ}$ & (D) $140.5^{\circ}$ \end{tabular} P29. Una bolsa contenía tarjetas numeradas del $1$ al $20$ . Arman sacó $6$ tarjetas y afirmó que podían emparejarse de modo que las sumas de los números de cada par fueran iguales. Kira logró ver cinco de las tarjetas: $2, 4, 9, 17, 19$ . ¿Qué número estaba en la tarjeta que no vio? (Basta con dar una respuesta posible.) \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $16$ & (B) $18$ & (C) $12$ & (D) $6$ \end{tabular} P30. Asel, Bulat, Vika y Timur estuvieron de turno en la escuela durante $20$ días. Cada día estuvieron de turno exactamente tres de ellos. Asel estuvo de turno $15$ veces, Bulat $14$ veces y Vika $18$ veces. ¿Cuántas veces estuvo de turno Timur? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $14$ & (B) $15$ & (C) $13$ & (D) $12$ \end{tabular}

1 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ se cumple la igualdad $CD-AB=BC$ . La bisectriz exterior del ángulo $B$ y la bisectriz interior del ángulo $C$ se intersecan en el punto $M$ . Demuestre que $MA=MD$ .

3 En una olimpiada de matemáticas, a los participantes se les propusieron $4$ problemas, cada uno calificado con un número entero de puntos de $0$ a $10$ . Después de anunciarse los resultados, resultó que no había dos participantes con el mismo puntaje total, y la suma de los puntajes de los cuatro participantes con los puntajes totales más altos es exactamente una cuarta parte del número total de puntos obtenidos por todos los participantes juntos. Halle el número máximo posible de participantes en la olimpiada.

2 El punto $M$ es el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles $ABC$ $\left( AC=BC \right)$ . Los puntos $K$ y $L$ se eligen sobre los lados $AC$ y $BC$ , respectivamente, de modo que el punto $M$ sea equidistante de las rectas $AC$ y $KL$ . Demuestre que $AK+BL\ge AB$ .

. Se sabe que $a^{2019}+b^{2019}=P(a+b,ab)$ para algún polinomio $P(x,y)$ con coeficientes enteros. Halle la suma de los coeficientes de este polinomio. P2. Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ , respectivamente. La circunferencia con diámetro $DE$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $F$ y $G$ , respectivamente. Los segmentos $FG$ y $AH$ se intersecan en el punto $K$ . Si $BC=25$ , $BD=20$ y $BE=7$ , halle la longitud del segmento $AK$ . P3. Halle todas las soluciones de la ecuación $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2019$ en números naturales. P4. Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre la diagonal $DB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ y sobre su prolongación más allá del punto $B$ , respectivamente, de modo que $\angle DAE=\angle BCF$ . Demuestre que $\angle DCE=\angle FAB$ . P5. Una sucesión de números reales positivos $\{a_{i}\}$ satisface las condiciones $a_{1}+a_{2}=2019$ y $a_{n-1}a_{n+1}=a_{n}$ para $n=2, 3, \ldots$ . Halle el valor mínimo posible de la suma $a_{2020}+a_{2021}$ . P6. Una cuadrícula rectangular de $16\times16$ se llena con ceros y unos. Si se eligen dos columnas cualesquiera, entonces el número de filas en las que las entradas de estas columnas coinciden es menor que $9$ . Demuestre que el número total de ceros en la cuadrícula no supera $160$ .

1 Sea $n$ un número natural. ¿Cuál es el mayor número posible de primos entre los números $n, 4n+17, 7n+1, 9n+7$ ?

. Un polinomio con coeficientes enteros se llama bueno si el máximo común divisor de sus coeficientes es igual a $1$ . Demuestre que el producto de dos polinomios buenos es también un polinomio bueno. P2. Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ , respectivamente. La circunferencia con diámetro $DE$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $F$ y $G$ , respectivamente. Los segmentos $FG$ y $AH$ se intersecan en el punto $K$ . Si $BC=25$ , $BD=20$ y $BE=7$ , halle la longitud del segmento $AK$ . P3. Halle todas las soluciones de la ecuación $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2019$ en números naturales. P4. Se elige un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$ . Demuestre que si los circunradios de los triángulos $PAB$ , $PBC$ y $PCA$ son iguales, entonces el punto $P$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . P5. La sucesión $\{a_{n}\}$ está definida por $a_{0}=0$ y $a_{n+1}=1010a_n+\sqrt{(1010^2-1)a_n^2+1}$ , para $n=0, 1, 2, \ldots$ . Demuestre que cada término de la sucesión es un entero y que todos los términos con índices pares son divisibles por $2020$ . P6. Una cuadrícula rectangular de $16\times16$ se llena con ceros y unos. Si se eligen dos columnas cualesquiera, entonces el número de filas en las que las entradas de estas columnas coinciden es menor que $9$ . Demuestre que el número total de ceros en la cuadrícula no supera $160$ .

3 Sobre la recta real, un objeto está en $1$ . Después de cada lanzamiento de una moneda justa, mueva el objeto una unidad a la derecha $1$ unidad si el resultado es Cara y una unidad a la izquierda $1$ unidad si el resultado es Cruz. Sea $N$ un entero positivo fijo. El juego termina cuando el objeto alcanza $0$ o $N$ . Sea $P(N)$ la probabilidad de que el objeto alcance $N$ . (a) Halle $P(3)$ . (b) Halle la fórmula de $P(N)$ para cualquier entero positivo $N$ .