5 Sean $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_{10}$ enteros positivos tales que $a_1<a_2<...<a_{10}$ . Para cada $k$ , denote por $b_k$ el mayor divisor de $a_k$ tal que $b_k<a_k$ . Suponga que $b_1>b_2>...>b_{10}$ . Demuestre que $a_{10}>500$ . darij

6 Sean $P$ , $Q$ , $R$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CA$ de un triángulo $ABC$ tales que $AP=CQ$ y el cuadrilátero $RPBQ$ es cíclico. Las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $C$ y $A$ intersecan a las rectas $RQ$ y $RP$ en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente. Demuestre que $RX=RY$ . darij

7 Un tablero de ajedrez de $100\times 100$ se corta en dominós (rectángulos $1\times 2$ ). Dos personas juegan el siguiente juego: en cada turno, un jugador pega dos casillas adyacentes (que antes estaban separadas por un borde de corte). Un jugador pierde si, después de su turno, el tablero de $100\times 100$ se vuelve conexo, es decir, entre cualesquiera dos casillas existe un camino que no interseca ningún borde de corte. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora: el jugador que empieza o su oponente? darij

8 Dado un trinomio cuadrático $f\left(x\right)=x^2+ax+b$ . Suponga que la ecuación $f\left(f\left(x\right)\right)=0$ tiene cuatro soluciones reales diferentes, y que la suma de dos de estas soluciones es $-1$ . Demuestre que $b\leq -\frac14$ . darij

2 Si se da un entero $a > 1$ tal que $\left(a-1\right)^3+a^3+\left(a+1\right)^3$ es el cubo de un entero, demuestre que $4\mid a$ . darij

6 Sean $K$ y $L$ dos puntos sobre los arcos $AB$ y $BC$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ , respectivamente, tales que $KL\parallel AC$ . Demuestre que los incentros de los triángulos $ABK$ y $CBL$ equidistan del punto medio del arco $ABC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . darij

7 Dado un trinomio cuadrático $f\left(x\right)=x^2+ax+b$ . Suponga que la ecuación $f\left(f\left(x\right)\right)=0$ tiene cuatro soluciones reales diferentes, y que la suma de dos de estas soluciones es $-1$ . Demuestre que $b\leq -\frac14$ . darij

2 La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca sus lados $BC$ , $AC$ , $AB$ en los puntos $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , respectivamente. El segmento $AA_{1}$ interseca a la circunferencia inscrita en el punto $Q\ne A_{1}$ . Una recta $\ell$ que pasa por $A$ es paralela a $BC$ . Las rectas $A_{1}C_{1}$ y $A_{1}B_{1}$ intersecan a $\ell$ en los puntos $P$ y $R$ , respectivamente. Demuestre que $\angle PQR=\angle B_{1}QC_{1}$ . A. Polyansky N.T.TUAN

8 Un cuadrado de $3000\times 3000$ se embaldosa con dominós (es decir, rectángulos $1\times 2$ ) de manera arbitraria. Demuestre que se pueden colorear los dominós con tres colores de modo que el número de dominós de cada color sea el mismo, y cada dominó $d$ tenga a lo sumo dos vecinos del mismo color que $d$ . (Se dice que dos dominós son vecinos si una casilla de un dominó tiene un lado común con una casilla del otro.) darij

1 Demuestre que $\sin\sqrt{x}<\sqrt{\sin x}$ para todo $x$ real tal que $0<x<\frac{\pi}{2}$ . darij