1-2 Problema 1 Ana y Banana compraron boletos para un evento. Al llegar a casa, notaron que los boletos estaban numerados con números naturales consecutivos. El número de Ana es múltiplo de $27$ y el número de Banana es múltiplo de $25$ . Además, observaron que los números de los boletos son los números naturales más pequeños que satisfacen estas propiedades y que el número de Ana es menor que el de Banana. Halle los números de los boletos. Problema 2 En un tablero de $5 \times 5$ , Ash y Brock juegan el siguiente juego. Ash tiene algunas bombas, cada una ocupando una casilla de $1 \times 1$ , y Brock tiene un barco, que ocupa una pieza de $4 \times 1$ . Inicialmente, Ash coloca las bombas en algunas casillas del tablero; después, Brock intenta colocar su barco en casillas no ocupadas por bombas. a) Demuestre que Ash necesita solo $6$ bombas para garantizar que Brock no pueda colocar su barco. b) Demuestre que si Ash tiene solo $5$ bombas, entonces, sin importar cómo estén colocadas, Brock siempre podrá colocar su barco.

3-4 Problema 3 Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $3$ , y sea $D$ el punto del lado $BC$ tal que $CD=1$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $AD$ y sea $\Gamma$ la circunferencia con centro en $M$ y tangente al segmento $AC$ . Si $E$ es el punto del segmento $AB$ tal que $DE$ es tangente a $\Gamma$ , calcule la longitud de $BE$ . Problema 4 Sea $n$ un número natural. Halle todos los valores de $n$ tales que $\frac{8^n-1}{7}$ es un número primo.

5 Considere cinco números reales positivos distintos. Demuestre que siempre es posible elegir dos de ellos tales que tanto su suma como el valor absoluto de su diferencia sean diferentes de los otros tres números.

3 Considere el polinomio $ M (x, y) = 1-3x ^ 2y ^ 2 + x ^ 2y ^ 4 + x ^ 4y ^ 2 $ . Demuestre que: a) $ M (a, b) \geq 0 $ , para todo $ a, b \in \mathbb {R} $ b) $ M $ no puede escribirse como una suma de cuadrados de polinomios en $ x, y $ y con coeficientes reales.

. Hay $11$ bolas: $5$ rojas y $6$ blancas. Se sabe que una bola roja y una bola blanca son radiactivas. Para cualquier grupo elegido de bolas, una sola prueba con un detector puede determinar si el grupo contiene al menos una bola radiactiva (pero no cuántas). ¿Cómo pueden identificarse ambas bolas radiactivas usando no más de $5$ pruebas? P2. Halle todos los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ que satisfacen, para todo $x\in\mathbb{R}$ , las igualdades $P(Q(x))=x^{4}-5x^{2}+7$ y $Q(x-1)=x^{2}-2x-1$ . P3. Imagine que frente a usted cuelga un paralelepípedo rectangular con dimensiones $10cm \times 10cm \times 20cm$ (por ejemplo, uno obtenido pegando dos cubos de lado $10cm$ ) . Una mariquita se coloca en un vértice del paralelepípedo (véase la figura). Suponga que no quiere volar, sino que se arrastra por la superficie con velocidad constante en todas direcciones. ¿Cómo puede la mariquita alcanzar el vértice opuesto en el menor tiempo, y cuántos centímetros recorrerá? https://i.sstatic.net/Z2PoqrmS.png P4. Se da un triángulo $ABC$ . Se elige un punto $K$ sobre el lado $AB$ , y un punto $L$ sobre el segmento $CK$ tales que $AK=KL=\frac{1}{2}KB$ . Se sabe que $\angle CAB=45^{\circ}$ y $\angle CKB=60^{\circ}$ . Demuestre que $AL=BL=CL$ . P5. El número $A=\frac{\sqrt{x^{2}+x-6}+\sqrt{-x^{2}-x+6}}{|x-2|}+(5+x)^{2017}$ es un entero. Halle las dos últimas cifras de $A$ . P6. ¿De cuántas maneras puede representarse el número $2017$ como una suma de varios sumandos ordenados de manera no decreciente, de modo que la diferencia entre el último y el primer sumando no exceda $1$ ?

. Calcule $[A]$ , donde $A=\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{\;\cdots\;+\sqrt[3]{24}}}}$ , y $A$ consta de $2017$ raíces cúbicas anidadas. (Aquí $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Por ejemplo, $[12.6]=12$ y $[-3.75]=-4$ . ) P2. Resuelva la ecuación $f(x)=x^{2}-1$ , donde $f(x)$ es una función definida en $\mathbb{R}$ que satisface, para todo real $x$ , $3f(x)+f(-x)= \begin{cases} x, & x\leqslant0, \\ 5x, & x>0. \end{cases}$ P3. Del cuadrilátero $ABCD$ se sabe que $AB=BD=AD, BC=5, CD=12, \angle BCD=30^{\circ}$ . Halle la longitud de $AC$ . P4. ¿De cuántas maneras puede cortarse un cuadrado en tres rectángulos de modo que los tres rectángulos sean semejantes entre sí? (Recuerde que dos rectángulos son semejantes si las razones de sus lados son iguales. Las soluciones que difieren solo por una rotación o reflexión del cuadrado se consideran iguales.) P5. Se dan dos polinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes enteros. Demuestre que existe un polinomio $R(x)$ con coeficientes enteros y grado a lo sumo $2$ tal que $R(8) \cdot R(12) \cdot R(2017)=P(8) \cdot P(12) \cdot P(2017) \cdot Q(2017) \cdot Q(12) \cdot Q(8)$ . P6. Cada celda de una tabla de $n\times6$ ( $n$ filas y $6$ columnas) está coloreada con uno de tres colores. Para cada par de filas, se comparan los colores de las celdas en las posiciones correspondientes (primera con primera, segunda con segunda, y así sucesivamente). Resulta que para cada par de filas, el número de posiciones con el mismo color es $0$ o $2$ . ¿Cuál es el número máximo posible de filas en la tabla?

Sea $n$ un entero positivo. Decimos que un polinomio $P$ con coeficientes enteros es $n$-bueno si existe un polinomio $Q$ de grado $2$ con coeficientes enteros tal que $Q(k)(P(k) + Q(k))$ nunca es divisible por $n$ para ningún entero $k$. Determina todos los enteros $n$ tales que todo polinomio con coeficientes enteros es un polinomio $n$-bueno.

12 Sean $p \ne q$ enteros positivos coprimos. Determina todas las sucesiones infinitas $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ de enteros positivos tales que se cumplen las siguientes condiciones para todo $n \ge 1$ : \begin{align*} \max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+p}) &= p \\ \max(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) - \min(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{n+q}) &= q \end{align*}

. Halle $a$ si $\int_{0}^{a}[x]dx=2017$ . (Aquí $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . Por ejemplo, $[12.6]=12$ y $[-3.75]=-4$ . ) P2. Resuelva la ecuación $f(2-x)=g(x+1)$ , donde $f(x)$ y $g(x)$ son funciones definidas en $\mathbb{R}$ que satisfacen, para todo real $x$ , $2f(x+1)-g(3-x)=2x^{2}+11x-4, f(3-x)+g(x+1)=x^{2}-5x+19$ . P3. El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia. Las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y se intersecan en el punto $O$ . Desde el punto $O$ , se traza la perpendicular $OP$ al lado $AB$ . La recta $OP$ interseca el lado $CD$ en el punto $Q$ . Halle $OQ$ si $AD=2$ , $AB=1$ y $\angle CDB=30^{\circ}$ . P4. Aibek marca un punto dentro de un hexágono regular y lo conecta mediante segmentos con cada vértice. Los seis triángulos resultantes se colorean alternadamente con dos colores: rojo y verde. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos rojos es igual a la suma de las áreas de los triángulos verdes. P5. Se dan dos polinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ con coeficientes enteros. Demuestre que existe un polinomio $R(x)$ con coeficientes enteros y grado a lo sumo $2$ tal que $R(8) \cdot R(12) \cdot R(2017)=P(8) \cdot P(12) \cdot P(2017) \cdot Q(2017) \cdot Q(12) \cdot Q(8)$ . P6. Papá Noel tiene $674$ manzanas, $674$ naranjas y $674$ mandarinas, que planea enviar como regalos de Año Nuevo a niños de dos ciudades diferentes. Decide distribuir las frutas en dos cajas de modo que cada caja contenga frutas de los tres tipos, y el producto de los números de manzanas, naranjas y mandarinas en cada caja sea el mismo. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

1 En una mesa redonda están sentados caballeros, que siempre dicen la verdad; bribones, que siempre mienten; y tramposos, que pueden mentir o decir la verdad a su discreción. Hay $2018$ personas en total. Cada persona hace dos afirmaciones: “Mi vecino de la izquierda es un bribón”. “Mi vecino de la derecha es un tramposo”. ¿Cuál es el menor número posible de tramposos que podrían estar sentados en la mesa?