3 Evalúe la integral $\int_0^{\infty} \frac{\log(x+2)}{x^2+3x+2}\mathrm{d}x$ .

4 Sea $n$ un entero positivo. Una clase de $n$ estudiantes corre $n$ carreras, en cada una de las cuales se les clasifica sin empates. Un estudiante es elegible para una calificación $(a,\,b)$ para enteros positivos $a$ y $b$ si queda en los primeros $b$ lugares en al menos $a$ de las carreras. Su puntuación final es el máximo valor posible de $a-b$ entre todas las calificaciones para las que es elegible. Encuentra la suma máxima posible de todas las puntuaciones de los $n$ estudiantes. Propuesto por William Steinberg, Australia KevinYang2.71

10.2 Sea $ABC$ un triángulo y una circunferencia $\omega$ que pasa por $C$ y su incentro $I$ corta a $CA, CB$ en $P, Q$ . Las circunferencias circunscritas $(CPQ)$ y $(ABC)$ se cortan en $L$ . La bisectriz del ángulo $\angle ALB$ corta a $AB$ en $K$ . Demuestre que, cuando $\omega$ varía, $\angle PKQ$ es constante.

10.4 Un grafo $G$ se llama $\textit{divisibility graph}$ si a los vértices se les pueden asignar enteros positivos distintos tales que entre dos vértices a los que se les asignan $u, v$ hay una arista si y solo si $\frac{u} {v}$ o $\frac{v} {u}$ es un entero positivo. Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ y $0 \leq e \leq \frac{n(n-1)}{2}$ , existe un $\textit{divisibility graph}$ con $n$ vértices y $e$ aristas. Observación sobre la fuente de 10.3 Parece ser Kvant 2022 Número 10 M2719, por lo que no será publicado; el mismo problema también fue usado como 9.4.

11.2 Sea $ABCD$ un paralelogramo y una circunferencia $k$ pasa por $A, C$ y corta a los rayos $AB, AD$ en $E, F$ . Si $BD, EF$ y la tangente en $C$ son concurrentes, demuestre que $AC$ es diámetro de $k$ .

11.4 Dado un $2024$ - gono convexo $A_1A_2\ldots A_{2024}$ y $1000$ puntos en su interior, de modo que no haya tres puntos colineales. Algunos pares de puntos están conectados con segmentos de modo que el interior del polígono queda dividido en triángulos. A cada punto se le asigna uno de los números de $\{1, -1, 2, - 2\}$ , de modo que la suma de los números escritos en $A_i$ y $A_{i+1012}$ es cero para todo $i=1,2, \ldots, 1012$ . Demuestre que existe un triángulo tal que la suma de los números en dos de sus vértices es cero. Observación sobre la fuente de 11.3 Aparece como Estonia TST 2004/5, por lo que no será publicado.

12.2 Dado un triángulo $ABC$ y dos puntos $D \in AC, E \in BD$ tales que $\angle DAE=\angle AED=\angle ABC$ . Demuestre que $BE=2CD$ si y solo si $\angle ACB=90^{\circ}$ .

12.3 Para un entero positivo $n$ , denote con $b(n)$ el menor entero positivo $k$ tal que existen enteros $a_1, a_2, \ldots, a_k$ que satisfacen $n=a_1^{33}+a_2^{33}+\ldots+a_k^{33}$ . Determine si el conjunto de enteros positivos $n$ que satisfacen: a) $b(n)=12;$ b) $b(n)=12^{12^{12}}.$ es finito o infinito.

12.4 Sea $d \geq 3$ un entero positivo. Las cadenas binarias de longitud $d$ se dividen en $2^{d-1}$ pares, de modo que las cadenas de cada par difieren en exactamente una posición. Demuestre que existe un $\textit{alternating cycle}$ de longitud a lo sumo $2d-2$ , es decir, a lo sumo $2d-2$ cadenas binarias que pueden disponerse en un círculo de modo que cualquier par de cadenas adyacentes difiera en exactamente una posición y exactamente la mitad de los pares de cadenas adyacentes sean pares de la división.

9.2 Sean $p>q$ primos, tales que $240 \nmid p^4-q^4$ . Halle el valor máximo de $\frac{q} {p}$ .