2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera tres números reales $a,b,c$, si $ a + f(b) + f(f(c)) = 0$, entonces: $$ f(a)^3 + bf(b)^2 + c^2f(c) = 3abc $$ . Propuesto por Amirhossein Zolfaghari

2 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB=AC$ y $\angle A>60^\circ$. Sea $O$ el circuncentro de $ABC$. El punto $P$ está sobre la circunferencia circunscrita de $BOC$ tal que $BP\parallel AC$, y el punto $K$ está sobre el segmento $AP$ tal que $BK=BC$. Demuestre que $CK$ biseca el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $BOC$.

1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos tales que $\sum_{\text{cyc}} (a+b)^2=2\sum_{\text{cyc}} a +6abc$. Demuestre que $$\sum_{\text{cyc}} (a-b)^2\leq\left|2\sum_{\text{cyc}} a -6abc\right|.$$

3 Dado un número natural $d$. Halle todos los intervalos abiertos de longitud máxima $I \subseteq R$ tales que para todos los números reales $a_0,a_1,...,a_{2d-1}$ dentro del intervalo $I$, el polinomio $P(x)=x^{2d}+a_{2d-1}x^{2d-1}+...+a_1x+a_0$ no tiene raíces reales.

3 Halle todas las funciones $f$ de los enteros positivos en sí mismos tales que se cumple lo siguiente. $1)$ . para cada entero positivo $n$ tenemos $f(n)<f(n+1)<f(n)+2020$ . $2)$ . para cada entero positivo $n$ tenemos $S(f(n))=f(S(n))$ donde $S(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en su representación en base $10$. Mr.C

2 Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que todas las raíces de $P^n(x)$ son enteros. (Aquí $P^n(x)$ significa $P(P(...(P(x))...))$ donde $P$ se repite $n$ veces.) Mr.C

3 Las casillas de un cuadrado de $n*n$ se llenan con enteros positivos de manera que en la intersección de la $i-$ésima columna y la $j-$ésima fila se escribe el número $i+j$. En cada paso, podemos elegir dos rectángulos iguales y no intersecantes con una dimensión igual a $n$ e intercambiar todos los números dentro de estos dos rectángulos entre sí (sin reflexión ni rotación). Halle el número mínimo de movimientos que se deben hacer para alcanzar la posición donde en la intersección de la $i-$ésima columna y la $j-$ésima fila se escribe $2n+2-i-j$.

1 Hossna está jugando con una cuadrícula de puntos de $m*n$. En cada turno dibuja segmentos entre puntos con las siguientes condiciones. **1.** Ningún par de segmentos se interseca. **2.** Cada segmento se dibuja entre dos filas consecutivas. **3.** Hay a lo sumo un segmento entre cualesquiera dos puntos. Halle el número máximo de regiones que Hossna puede crear.

2 Sean $n,k$ enteros positivos tales que $n \ge k$. Halle el número máximo de sucesiones binarias de longitud $n$ tales que, al fijar cualesquiera $k$ bits, no producen todas las sucesiones binarias de longitud $k$. Por ejemplo, si $k=1$ solo podemos tener una sucesión; de lo contrario diferirán en al menos un bit, lo que significa que ese bit produce todas las sucesiones binarias de longitud $1$.

2 Sea $T$ una triangulación de un $100$-ágono. Construimos $P(T)$ copiando el mismo $100$-ágono y dibujando una diagonal si no fue dibujada en $T$ y existe un cuadrilátero con esta diagonal y otros dos vértices tal que todos los lados y diagonales (excepto la que vamos a dibujar) están presentes en $T$. Sea $f(T)$ el número de intersecciones de diagonales en $P(T)$. Halle el mínimo y el máximo de $f(T)$.