8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $E$ el pie de la altura desde $B$ a $AC$ . El punto $C'$ es el reflejo de $C$ respecto a $AM$ . El punto $D$ , distinto de $C$ , se coloca sobre la recta $BC$ tal que $AD=AC$ . Demuestre que $B$ es el incentro del triángulo $DEC'$ .

9 Halle todas las sucesiones de enteros positivos $a_1,a_2,\dots$ tales que $$(n^2+1)a_n = n(a_{n^2}+1)$$ para todos los enteros positivos $n$ .

10 Sea $n$ un entero positivo par. Alicia y Bob juegan el siguiente juego. Antes del comienzo del juego, Alicia elige un conjunto $S$ que contiene $m$ enteros y se lo anuncia a Bob. Luego los jugadores se turnan, comenzando Bob, eligiendo un $i\in\{1,2,\dots, n\}$ que no haya sido elegido y fijando el valor de $v_i$ en $0$ o $1$ . Al final del juego, cuando todos los $v_1,v_2,\dots,v_n$ han sido fijados, se calcula la expresión $$E=v_1\cdot 2^0 + v_2 \cdot 2^1 + \dots + v_n \cdot 2^{n-1}$$ . Determine el mínimo $m$ tal que Alicia puede siempre asegurar que $E\in S$ sin importar cómo juegue Bob.

1 Sea $O_1O_2O_3$ un triángulo acutángulo. Sean $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ las circunferencias con centros $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ , respectivamente, tales que cualesquiera dos de ellas son tangentes entre sí. La circunferencia circunscrita de $O_1O_2O_3$ corta a $\omega_1$ en $A_1$ y $B_1$ , a $\omega_2$ en $A_2$ y $B_2$ , a $\omega_3$ en $A_3$ y $B_3$ , respectivamente. Demuestre que el incentro del triángulo que puede ser construido por las rectas $A_1B_1$ , $A_2B_2$ , $A_3B_3$ y el incentro de $O_1O_2O_3$ coinciden.

2 Halle todos los pares de números primos $p,q$ que satisfacen la ecuación $$p(p^4+p^2+10q)=q(q^2+3)$$

3 Sean $x,y,z$ números reales positivos que satisfacen al menos una de las desigualdades $2xy>1$ , $yz>1$ . Halle el menor valor posible de $$xy^3z^2+\frac{4z}{x}-8yz-\frac{4}{yz}$$ .

6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sea $l_0$ una recta tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $A$ . Sea $l$ una recta variable paralela a la recta $l_0$ . Sea $l$ una recta que interseca a los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos $X$ , $Y$ respectivamente. $BY$ y $CX$ se intersecan en el punto $T$ y la recta $AT$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $Z$ . Demuestre que, al variar $l$ , la circunferencia circunscrita de $XYZ$ pasa por un punto fijo.

1 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB \parallel CD$ . Un punto $T$ que está dentro del trapecio satisface $ \angle ATD = \angle CTB$ . La recta $AT$ corta a la circunferencia circunscrita de $ACD$ en $K$ y la recta $BT$ corta a la circunferencia circunscrita de $BCD$ en $L$ . ( $K \neq A$ , $L \neq B$ ) Demuestre que $KL \parallel AB$ .

2 Hay una escuela con $n$ estudiantes. Suponga que cada estudiante tiene exactamente $2023$ amigos y que toda pareja de estudiantes que no son amigos tiene exactamente $2022$ amigos en común. Halle todos los valores de $n$

4 Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto de conjuntos que tienen $k$ elementos. Para todo $A,B \in S$ con $A\neq B$ se tiene $A \Delta B \in S$ . Halle todos los valores de $k$ cuando $|S|=1023$ y $|S|=2023$ . Nota : $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$