Sea $k$ un número real tal que el sistema \begin{align*} &|25+20i-z|=5\\ &|z-4-k|=|z-3i-k| \\ \end{align*} tiene exactamente una solución compleja $z.$ La suma de todos los valores posibles de $k$ se puede escribir como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n.$ Aquí $i=\sqrt{-1}.$

4 Encuentra el número de pares ordenados $(x,y)$ , donde tanto $x$ como $y$ son enteros entre $-100$ y $100$ inclusive, tales que $12x^2-xy-6y^2=0$ .

Las doce letras $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$ y $L$ se agrupan aleatoriamente en seis pares de letras. Las dos letras de cada par se colocan una al lado de la otra en orden alfabético para formar seis palabras de dos letras, y luego esas seis palabras se ordenan alfabéticamente. Por ejemplo, un resultado posible es $AB$, $CJ$, $DG$, $EK$, $FL$, $HI$. La probabilidad de que la última palabra listada contenga $G$ es $\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

Hay $8! = 40320$ enteros positivos de ocho dígitos que usan cada uno de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 exactamente una vez. Sea $N$ el número de estos enteros que son divisibles por $22$. Encuentra la diferencia entre $N$ y 2025.

Un trapecio isósceles tiene un círculo inscrito tangente a cada uno de sus cuatro lados. El radio del círculo es $3$, y el área del trapecio es $72$. Sean las longitudes de los lados paralelos del trapecio $r$ y $s$, con $r \neq s$. Encuentra $r^2+s^2$.

13 Alex divide un disco en cuatro cuadrantes con dos diámetros perpendiculares que se intersectan en el centro del disco. Dibuja $25$ segmentos de línea más a través del disco, dibujando cada segmento seleccionando dos puntos al azar en el perímetro del disco en cuadrantes diferentes y conectando estos dos puntos. Encuentra el número esperado de regiones en las que estos $27$ segmentos de línea dividen el disco.

14 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $AB=14,$ $BC=7,$ $CD=24,$ $DE=13,$ $EA=26,$ y $\angle B=\angle E=60^{\circ}.$ Para cada punto $X$ en el plano, define $f(X)=AX+BX+CX+DX+EX.$ El menor valor posible de $f(X)$ se puede expresar como $m+n\sqrt{p},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p.$

15 Sea \(N\) el número de ternas ordenadas de enteros positivos \((a, b, c)\) tales que \(a, b, c \le 3^6\) y \(a^3 + b^3 + c^3\) es un múltiplo de \(3^7\). Encuentra el residuo cuando \(N\) se divide entre \(1000\).

2 Encuentra la suma de todos los enteros positivos $n$ tales que $n+2$ divide al producto $3(n+3)(n^2+9)$ .

4 El producto \[\prod^{63}_{k=4} \frac{\log_k (5^{k^2 - 1})}{\log_{k + 1} (5^{k^2 - 4})} = \frac{\log_4 (5^{15})}{\log_5 (5^{12})} \cdot \frac{\log_5 (5^{24})}{\log_6 (5^{21})}\cdot \frac{\log_6 (5^{35})}{\log_7 (5^{32})} \cdots \frac{\log_{63} (5^{3968})}{\log_{64} (5^{3965})}\] es igual a $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m + n.$